Question

16．已知橢圓$\frac{x^2}{4}$+y²=1上一動點P，F(xiàn)為其右焦點，橢圓內一定點A（0，$\frac{1}{2}$），則|AP|+$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$|AF|的最小值（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． 1
• C． $\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 根據(jù)橢圓方程繪出圖形，過點P向橢圓右準線做垂線，垂足為B，根據(jù)橢圓方程求得離心率和準線方程，再根據(jù)橢圓的定義找到取得最值的狀態(tài)求解．

解答 解：∵橢圓$\frac{x^2}{4}$+y²=1方程，a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，右準線為x=$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
由|AP|+$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$|AF|即為|AP|+$\frac{1}{e}$|AF|，
|∴根據(jù)橢圓的第二定義：
過A作右準線的垂線，交于B點，
則|AP|+$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$|AF|的最小值為|AB|．
∵|AB|=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴|PA|+2|PF|的最小值為：$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故答案選：C．

點評 本題考查橢圓的第二定義來求最值，主要考查了橢圓性質的應用，考查了學生對橢圓基本知識的理解和應用，屬于中檔題．