Question

11．已知f（x）=$\frac{x+2}{x-6}$．
（1）若f（a）=2，求a及f（3）的值；
（2）求g（x）=f（x+6）的解析式；
（3）判斷g（x）在[1，4]上的單調(diào)性并求出其值域．

Answer 1

分析 （1）解$\frac{a+2}{a-6}=2$即可求出a的值，x=3帶入f（x）解析式即可求出f（3）；
（2）f（x）中的x換上x+6即可求出f（x+6），即得出g（x）=1+$\frac{8}{x}$，（x≠0）；
（3）根據(jù)反比例函數(shù)$y=\frac{8}{x}$的單調(diào)性即可判斷出g（x）在[1，4]上單調(diào)遞減，從而便可得出其值域．

解答 解：（1）由題意，$\frac{a+2}{a-6}=2$，解得，a=14；
$f（3）=\frac{3+2}{3-6}=-\frac{5}{3}$；
（2）$g（x）=f（x+6）=\frac{x+6+2}{x+6-6}=\frac{x+8}{x}=1+\frac{8}{x}$，（x≠0）；
∴$g（x）=1+\frac{8}{x}（x≠0）$；
（3）g（x）在[1，4]上單調(diào)遞減，且g（1）=9，g（4）=3；
∴g（x）的值域?yàn)閇3，9]．

點(diǎn)評(píng) 考查已知函數(shù)值求自變量值的方法，已知函數(shù)求值的方法，已知f（x）求f[g（x）]的方法，以及反比例函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)在閉區(qū)間上值域的方法．