Question

19．對(duì)于函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，sinx≥cosx}\\{cosx，sinx＜cosx}\end{array}\right.$，給出下列四個(gè)命題：
①該函數(shù)的圖象關(guān)于x=2kπ+$\frac{π}{4}$ （k∈Z）對(duì)稱；
②當(dāng)且僅當(dāng)x=kπ+$\frac{π}{2}$ （k∈Z）時(shí)，該函數(shù)取得最大值1；
③該函數(shù)是以π為最小正周期的周期函數(shù)；
④當(dāng)且僅當(dāng)2kπ+π＜x＜2kπ+$\frac{3π}{2}$ （k∈Z）時(shí)，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤f（x）＜0．
其中正確的是①④．（填序號(hào)）

Answer 1

分析 畫出函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，sinx≥cosx}\\{cosx，sinx＜cosx}\end{array}\right.$的圖象，數(shù)形結(jié)合分析各個(gè)命題的真假，可得答案．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，sinx≥cosx}\\{cosx，sinx＜cosx}\end{array}\right.$的圖象如下圖所示：

由圖可得：
①該函數(shù)的圖象關(guān)于x=2kπ+$\frac{π}{4}$ （k∈Z）對(duì)稱；故正確；
②當(dāng)x=2kπ，或x=2kπ+$\frac{π}{2}$ （k∈Z）時(shí)，該函數(shù)取得最大值1；故錯(cuò)誤；
③該函數(shù)是以2π為最小正周期的周期函數(shù)；故錯(cuò)誤；
④當(dāng)且僅當(dāng)2kπ+π＜x＜2kπ+$\frac{3π}{2}$ （k∈Z）時(shí)，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤f（x）＜0，故正確；
故答案為：①④

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．