Question

9．已知圓O：x²+y²=2交x軸于A、B兩點(diǎn)，橢圓C是以AB為長軸，且離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，其左焦點(diǎn)為F，若P為圓O上一點(diǎn)，過原點(diǎn)O作PF的垂線交直線x=-2于點(diǎn)Q；
（1）求橢圓C的方程；
（2）當(dāng)點(diǎn)P（不與A、B重合）在圓O上運(yùn)動時(shí)，求證：直線PQ與圓O相切．

Answer 1

分析 （1）由已知求得a，結(jié)合離心率得c，再由隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（2）求出F坐標(biāo)，設(shè)出P的坐標(biāo)，得到PF的斜率，進(jìn)一步得到OQ的斜率，寫出OQ所在直線方程，求得Q坐標(biāo)，再由OP與PQ的斜率的關(guān)系證得答案．

解答 （1）解：由題意可知，a=$\sqrt{2}$，又$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴c=1，
則b²=a²-c²=2-1=1，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）證明：由（1）知，F(xiàn)（-1，0），
設(shè)P（x₀，y₀）（${x}_{0}≠±\sqrt{2}$），則${{y}_{0}}^{2}=2-{{x}_{0}}^{2}$，
∴${k}_{OQ}=-\frac{1}{{k}_{PF}}=-\frac{{x}_{0}+1}{{y}_{0}}$，即直線OQ：$y=-\frac{{x}_{0}+1}{{y}_{0}}x$，則Q（-2，$\frac{2{x}_{0}+2}{{y}_{0}}$），
∴${k}_{PQ}=\frac{{y}_{0}-\frac{2{x}_{0}+2}{{y}_{0}}}{{x}_{0}+2}=\frac{{{y}_{0}}^{2}-2{x}_{0}-2}{{y}_{0}（{x}_{0}+2）}=-\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$，
又${k}_{OP}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$，
∴k_OP•k_PQ=-1，即OP⊥PQ，則直線PQ與圓O相切．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，是中檔題．