Question

4．已知函數(shù)f（x）=2^x-$\frac{1}{{2}^{|x|}}$，x∈[-1，2]．
（1）若f（x）=$\frac{3}{2}$，求x值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）把f（x）化簡去掉絕對值，由題意2^x-$\frac{1}{{2}^{|x|}}$=$\frac{3}{2}$計算即可．
（2）利用指數(shù)的復合函數(shù)性質求其單調(diào)性．
（3）利用單調(diào)性求值域．

解答 解：∵x∈[-1，2]
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-\frac{1}{{2}^{x}}，（0＜x≤2）}\\{0，（-1≤x≤0）}\end{array}\right.$
（1）由題意：2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$=$\frac{3}{2}$（0＜x≤2）
解得：x=1．
（2）當0≥x≥-1時，f（x）=0，不存在單調(diào)性．
當0＜x≤2時，y₁=2^x是增函數(shù)，y₂=$\frac{1}{{2}^{x}}$是減函數(shù)，
所以f（x）=${2}^{x}-\frac{1}{{2}^{x}}$在（0，2]是增函數(shù)．
故：函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，2]，x∈[-1，0]不存在單調(diào)性．
（3）由（2）可知，函數(shù)f（x）在x∈（0，2]是增函數(shù)，
故x=2時取得最大值，即$f（x）_{max}=\frac{15}{4}$．
當0≥x≥-1時，f（x）=0．
所以：f（x）的值域為[0，$\frac{15}{4}$]．

點評 本題考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的運用，分段函數(shù)的值域求法，考查運算能力，屬于基礎題．