Question

15．設(shè)a，b，c為正數(shù)，且a²+b²+c²=1，求證：$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$+$\frac{1}{{c}^{2}}$-$\frac{2（{a}^{3}+^{3}+{c}^{3}）}{abc}$≥3．

Answer 1

分析 由條件可得不等式的左邊為3+（$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{{c}^{2}}$-$\frac{2{a}^{2}}{bc}$）+（$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{^{2}}{{c}^{2}}$-$\frac{2^{2}}{ac}$）+（$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{c}^{2}}{^{2}}$-$\frac{2{c}^{2}}{ab}$），配方即可得證．

解答 證明：由a²+b²+c²=1，可得：
$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$+$\frac{1}{{c}^{2}}$-$\frac{2（{a}^{3}+^{3}+{c}^{3}）}{abc}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}+{c}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}+^{2}+{c}^{2}}{^{2}}$+$\frac{{a}^{2}+^{2}+{c}^{2}}{{c}^{2}}$
-$\frac{2{a}^{2}}{bc}$-$\frac{2^{2}}{ac}$-$\frac{2{c}^{2}}{ab}$=3+（$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{{c}^{2}}$-$\frac{2{a}^{2}}{bc}$）+（$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{^{2}}{{c}^{2}}$-$\frac{2^{2}}{ac}$）+（$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{c}^{2}}{^{2}}$-$\frac{2{c}^{2}}{ab}$）
=3+（$\frac{a}$-$\frac{a}{c}$）²+（$\frac{a}$-$\frac{c}$）²+（$\frac{c}{a}$-$\frac{c}$）²≥3．
當且僅當a=b=c取得等號．
即有$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$+$\frac{1}{{c}^{2}}$-$\frac{2（{a}^{3}+^{3}+{c}^{3}）}{abc}$≥3．

點評 本題考查不等式的證明，注意運用作差法，考查邏輯推理能力，屬于中檔題．