【題目】已知雙曲線，經(jīng)過點(diǎn)的直線與該雙曲線交于兩點(diǎn).

（1）若與軸垂直，且，求的值；

（2）若，且的橫坐標(biāo)之和為，證明：.

（3）設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，求證：為定值.

【答案】（1）（2）證明見解析；（3）證明見解析；

【解析】

（1）把代入雙曲線方程求得坐標(biāo)，由可求得；

（2）設(shè)，設(shè)直線方程為，代入雙曲線方程應(yīng)用韋達(dá)定理得，由可求得，再由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算出可得結(jié)論；

（3）設(shè)方程為，且，由可用表示出，代入雙曲線方程得，同理.故是方程的兩根.由韋達(dá)定理可得結(jié)論．

（1），，，

∴.

（2），設(shè)，顯然直線斜率存在，設(shè)方程為，并與聯(lián)立得，由得，此時(shí).

.

（3）有題意可知直線斜率必存在，設(shè)方程為，且.由得，所以，，又由于點(diǎn)在雙曲線上，故化簡得，同理.故是方程的兩根.則為定值.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在三棱錐中，是以為斜邊的等腰直角三角形，分別是的中點(diǎn)，，．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正切值．

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【題目】如圖所示，平面平面，四邊形是邊長為4的正方形，，，分別是，的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）若直線與平面所成角等于，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】《易·系辭上》有“河出圖，洛出書”之說.河圖、洛書是中國古代流傳下來的兩幅神秘圖案，蘊(yùn)含了深?yuàn)W的宇宙星象之理，被譽(yù)為“宇宙魔方”，是中華文化，陰陽術(shù)數(shù)之源.其中河圖的排列結(jié)構(gòu)是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如圖，白圈為陽數(shù)，黑點(diǎn)為陰數(shù)，若從陰數(shù)和陽數(shù)中各取一數(shù)，則其差的絕對值為1的概率為（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為提高產(chǎn)品質(zhì)量，某企業(yè)質(zhì)量管理部門經(jīng)常不定期地對產(chǎn)品進(jìn)行抽查檢測，現(xiàn)對某條生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取的100個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行相關(guān)數(shù)據(jù)的對比，并對每個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行綜合評分（滿分100分），將每個(gè)產(chǎn)品所得的綜合評分制成如圖所示的頻率分布直方圖.記綜合評分為80分及以上的產(chǎn)品為一等品.

（1）求圖中的值，并求綜合評分的中位數(shù)；

（2）用樣本估計(jì)總體，視頻率作為概率，在該條生產(chǎn)線中隨機(jī)抽取3個(gè)產(chǎn)品，求所抽取的產(chǎn)品中一等品數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)．

（Ⅰ）若當(dāng)時(shí)取得極值，求a的值及的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若，是函數(shù)的兩個(gè)不同零點(diǎn)，證明：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．

（Ⅰ）討論單調(diào)性；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)，求證：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)雙曲線的左頂點(diǎn)為D，且以點(diǎn)D為圓心的圓與雙曲線C分別相交于點(diǎn)A、B，如圖所示.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）求的最小值，并求出此時(shí)圓D的方程；

（3）設(shè)點(diǎn)P為雙曲線C上異于點(diǎn)A、B的任意一點(diǎn)，且直線PA、PB分別與x軸相交于點(diǎn)M、N，求證：為定值（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

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