Question

【題目】已知函數，其中為自然對數的底數．

（Ⅰ）討論單調性；

（Ⅱ）當時，設函數存在兩個零點，求證：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）證明見解析

【解析】

（Ⅰ），分和兩種情況討論函數的單調性；

（Ⅱ）解法一：由題意可知，兩式相減可得，再利用分析法轉化為證明要證，只需證，再通過變形，構造，證明只需證即可，，構造函數，利用導數證明.

解法二：由題意可知，再換元令，即，兩式相減得，要證，即只需證，即證，再通過變形，構造得到，，，利用導數證明.

解：（1），

當時，，在上單調遞增；

當時，令得，在上單調遞減，在上單調遞增；

（Ⅱ）解法一：由題意知，由得，

兩式相減得，因為，故，

要證，只需證，

兩邊同除以得，

令，故只需證即可．

令，，

令，

當時，，故在上單調遞減，

故，故在上單調遞增，故，故原命題得證．

【解法二】

由題意知，由得，

令，即，兩式相減得，

要證，即只需證，即證，即，即，

令，只需證即可．

令，，

當時，，故在上單調遞增，故，因此原不等式成立．