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【題目】已知函數,其中為自然對數的底數.

(Ⅰ)討論單調性;

(Ⅱ)當時,設函數存在兩個零點,求證:

【答案】(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ)證明見解析

【解析】

(Ⅰ),分兩種情況討論函數的單調性;

(Ⅱ)解法一:由題意可知,兩式相減可得,再利用分析法轉化為證明要證,只需證,再通過變形,構造,證明只需證即可,,構造函數,利用導數證明.

解法二:由題意可知,再換元令,即,兩式相減得,要證,即只需證,即證,再通過變形,構造得到,,利用導數證明.

解:(1,

時,,上單調遞增;

時,令上單調遞減,在上單調遞增;

(Ⅱ)解法一:由題意知,由,

兩式相減得,因為,故,

要證,只需證,

兩邊同除以

,故只需證即可.

,

時,,故上單調遞減,

,故上單調遞增,故,故原命題得證.

【解法二】

由題意知,由

,即,兩式相減得,

要證,即只需證,即證,即,即,

,只需證即可.

,

時,,故上單調遞增,故,因此原不等式成立.

練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】已知正方體的棱長為,的中點,下列說法中正確的是(  

A.所成的角大于

B.到平面的距離為

C.三棱錐的外接球的表面積為

D.直線與平面所成的角為

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1)若軸垂直,且,求的值;

2)若,且的橫坐標之和為,證明:.

3)設直線軸交于點,求證:為定值.

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2)若直線與平面所成角的余弦值為,求二面角的余弦值.

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1)求曲線的方程

2)過點的直線與拋物線相交于兩點,拋物線在點A的切線與交于點N,求面積的最小值.

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【題目】互聯網正在改變著人們的生活方式,在日常消費中手機支付正逐漸取代現金支付成為人們首選的支付方式. 某學生在暑期社會活動中針對人們生活中的支付方式進行了調查研究. 采用調查問卷的方式對100名18歲以上的成年人進行了研究,發(fā)現共有60人以手機支付作為自己的首選支付方式,在這60人中,45歲以下的占,在仍以現金作為首選支付方式的人中,45歲及以上的有30人.

(1)從以現金作為首選支付方式的40人中,任意選取3人,求這3人至少有1人的年齡低于45歲的概率;

(2)某商家為了鼓勵人們使用手機支付,做出以下促銷活動:凡是用手機支付的消費者,商品一律打八折. 已知某商品原價50元,以上述調查的支付方式的頻率作為消費者購買該商品的支付方式的概率,設銷售每件商品的消費者的支付方式都是相互獨立的,求銷售10件該商品的銷售額的數學期望.

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【題目】矩形中,,點,分別是上的動點,將矩形沿所在的直線進行隨意翻折,在翻折過程中直線與直線所成角的范圍(包含初始狀態(tài))為( )

A.B.C.D.

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【題目】為評估設備生產某種零件的性能,從該設備生產零件的流水線上隨機抽取100件零件作為樣本,測量其直徑后,整理得到下表:

直徑/

78

79

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

93

合計

件數

1

1

3

5

6

19

33

18

4

4

2

1

2

1

100

經計算,樣本的平均值,標準差,以頻率值作為概率的估計值.

(1)為評判一臺設備的性能,從該設備加工的零件中任意抽取一件,記其直徑為,并根據以下不等式進行評判(表示相應事件的頻率):

;②;③,評判規(guī)則為:若同時滿足上述三個不等式,則設備等級為甲;僅滿足其中兩個,則等級為乙;若僅滿足其中一個,則等級為丙;若全部不滿足,則等級為丁.試判斷設備的性能等級.

(2)將直徑小于等于的零件或直徑大于等于的零件認定為是“次品”,將直徑小于等于的零件或直徑大于等于的零件認定為是“突變品”,從樣本的“次品”中隨意抽取2件零件,求“突變品”個數的數學期望.

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【題目】已知圓,動圓與圓外切,且與直線相切,該動圓圓心的軌跡為曲線.

1)求曲線的方程

2)過點的直線與拋物線相交于兩點,拋物線在點A的切線與交于點N,求面積的最小值.

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