Question

【題目】如圖，島、相距海里．上午9點(diǎn)整有一客輪在島的北偏西且距島 海里的處，沿直線方向勻速開(kāi)往島，在島停留分鐘后前往市．上午測(cè)得客輪位于島的北偏西且距島 海里的處，此時(shí)小張從島乘坐速度為海里/小時(shí)的小艇沿直線方向前往島換乘客輪去市．

（Ⅰ）若，問(wèn)小張能否乘上這班客輪？

（Ⅱ）現(xiàn)測(cè)得， ．已知速度為海里/小時(shí)()的小艇每小時(shí)的總費(fèi)用為()元，若小張由島直接乘小艇去市，則至少需要多少費(fèi)用？

Answer 1

【答案】（Ⅰ）若小張9點(diǎn)半出發(fā)，則無(wú)法乘上這班客輪；（Ⅱ）若小張由島直接乘小艇去市，其費(fèi)用至少需元.

【解析】試題分析：（Ⅰ）在中，由余弦定理得，進(jìn)而得客輪的航行速度，在中，由余弦定理得，分別求出客輪和小張到島所用的時(shí)間，比較即可；

（Ⅱ）根據(jù)條件求得，再由正弦定理得， ，求得，進(jìn)而求得總費(fèi)用為，利用基本不等式求最值即可.

試題解析：

（Ⅰ）如圖，根據(jù)題意得：

， ， ， ．

在中，由余弦定理得，

,

所以客輪的航行速度（海里/小時(shí)）．

因?yàn)?/span>，所以，

所以．

在中，由余弦定理得， ，

整理得： ，

解得或（不合舍去）．

所以客輪從處到島所用的時(shí)間小時(shí)，

小張到島所用的時(shí)間至少為小時(shí)．

由于，

所以若小張9點(diǎn)半出發(fā)，則無(wú)法乘上這班客輪.

（Ⅱ）在中， ， ,

所以為銳角， ， ．

所以

.

由正弦定理得， ,

所以,

所以小張由島直接乘小艇去城市的總費(fèi)用為

()，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)， （元）.

所以若小張由島直接乘小艇去市，其費(fèi)用至少需元．