Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，f（

x

5

）=

1

2

f（x），且0≤x₁＜x₂≤1時(shí)，f（x₁）≤f（x₂），則f（

1

2015

）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專(zhuān)題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由抽象函數(shù)的性質(zhì)可得f（

1

2

）=

1

2

，f（

1

5

）=

1

2

；故可推測(cè)其為分段常數(shù)函數(shù)，從而由題意化簡(jiǎn)可得．

解答： 解：∵f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，
∴f（

1

2

）=

1

2

，f（1）=1；
又∵f（

x

5

）=

1

2

f（x），
∴f（

1

55

）=

1

2

f（

1

54

）=

1

22

f（

1

53

）=…=

1

25

f（1）=

1

32

；
f（

1

2×54

）=

1

2

f（

1

2

•

1

53

）=…=

1

24

f（

1

2

）=

1

32

；
又∵0≤x₁＜x₂≤1時(shí)，f（x₁）≤f（x₂），
∴當(dāng)x∈[

1

55

，

1

2×54

]時(shí)，f（x）=

1

32

；
又∵

1

2015

∈[

1

55

，

1

2×54

]，
∴f（

1

2015

）=

1

32

；
故答案為：

1

32

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了抽象函數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題．