Question

13．在△ABC中，角A，B，C對(duì)邊分別為a，b，c，且btanA，ctanB，btanB成等差數(shù)列．
（1）求角A；
（2）若a=2，試判斷當(dāng)bc取最大值時(shí)△ABC的形狀，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由btanA，ctanB，btanB成等差數(shù)列，可得2ctanB=btanA+btanB，利用正弦定理化為cosA=$\frac{1}{2}$，由A∈（0，π），即可得出A=$\frac{π}{3}$；
（2）由余弦定理結(jié)合基本不等式得答案．

解答 解：（1）∵btanA，ctanB，btanB成等差數(shù)列，
∴2ctanB=btanA+btanB，
∴2sinC•$\frac{sinB}{cosB}$=sinB•$\frac{sinA}{cosA}$+sinB•$\frac{sinB}{cosB}$，
化為sinAcosB+cosAsinB=2sinCcosA，
∴sinC=2sinCcosA，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），∴A=$\frac{π}{3}$；
（2）由a²=b²+c²-2bc•cosA，
得$4=^{2}+{c}^{2}-2bc•cos\frac{π}{3}=^{2}+{c}^{2}-2bc•\frac{1}{2}$=b²+c²-bc≥bc，
當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào)，此時(shí)△ABC為等邊三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)、正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．