【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是邊長為1的正方形,PB⊥BC,PD⊥DC,且PC.
(1)求證:PA⊥平面ABCD;
(2)求異面直線AC與PD所成角的余弦值;
(3)求二面角B﹣PD﹣C的余弦值.
【答案】(1)證明見解析(2)(3)
【解析】
(1)先證PA⊥BC, PA⊥CD,再根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可證結(jié)論;
(2)以為原點,以射線分別為軸建立空間直線坐標系,利用空間向量的坐標可求得結(jié)果;
(3)利用平面PDC和平面PDB的法向量的坐標,計算可得二面角B﹣PD﹣C的余弦值.
(1)證明:∵底面ABCD是邊長為1的正方形,
∴AB⊥BC,CD⊥AD,
又PB⊥BC,AB∩PB=B,且都在平面PAB內(nèi),
∴BC⊥平面PAB,
又PA在平面PAB內(nèi),
∴PA⊥BC,
同理,由PD⊥DC,CD⊥AD,且PD∩AD=D,都在平面PAD內(nèi),
∴CD⊥平面PAD,
又PA在平面PAD內(nèi),
∴PA⊥CD,
∵BC∩CD=C,且都在平面ABCD內(nèi),
∴PA⊥平面ABCD;
(2)由(1)知,PA⊥平面ABCD,且,,建立如圖所示空間直角坐標系,
由題意可得,A(0,0,0),C(1,1,0),P(0,0,1),D(1,0,0),B(0,1,0),
∴,
∴,
∴異面直線AC與PD所成角的余弦值為;
(3)由(2)知,,,
設(shè)平面PDC的一個法向量為,則,∴,
令x=1,則z=1,∴,
設(shè)平面PDB的一個法向量為,則,∴,
令a=1,則b=1,c=1,
∴,
∴,即二面角B﹣PD﹣C的余弦值為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2019年10月1日,在慶祝新中國成立70周年閱兵中,由我國自主研制的軍用飛機和軍用無人機等參閱航空裝備分秒不差飛越天安門,壯軍威,振民心,令世人矚目.飛行員高超的飛行技術(shù)離不開艱苦的訓(xùn)練和科學(xué)的數(shù)據(jù)分析.一次飛行訓(xùn)練中,地面觀測站觀測到一架參閱直升飛機以千米/小時的速度在同一高度向正東飛行,如圖,第一次觀測到該飛機在北偏西的方向上,1分鐘后第二次觀測到該飛機在北偏東的方向上,仰角為,則直升機飛行的高度為________千米.(結(jié)果保留根號)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法中,正確的序號是( 。
①“b=2”是“1,b,4成等比數(shù)列”的充要條件;
②“雙曲線與橢圓有共同焦點”是真命題;
③若命題p∨¬q為假命題,則q為真命題;
④命題p:x∈R,x2﹣x+1>0的否定是:x∈R,使得x2﹣x+1≤0.
A.①②B.②③④C.②③D.②④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】微信運動,是由騰訊開發(fā)的一個類似計步數(shù)據(jù)庫的公眾賬號.用戶可以通過關(guān)注微信運動公眾號查看自己每天或每月行走的步數(shù),同時也可以和其他用戶進行運動量的或點贊.加入微信運動后,為了讓自己的步數(shù)能領(lǐng)先于朋友,人們運動的積極性明顯增強,下面是某人2018年1月至2018年11月期間每月跑步的平均里程(單位:十公里)的數(shù)據(jù),繪制了下面的折線圖.
根據(jù)折線圖,下列結(jié)論正確的是( )
A. 月跑步平均里程的中位數(shù)為月份對應(yīng)的里程數(shù)
B. 月跑步平均里程逐月增加
C. 月跑步平均里程高峰期大致在、月
D. 月至月的月跑步平均里程相對于月至月,波動性更小,變化比較平穩(wěn)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,已知拋物線y2=8x的焦點為F,直線l過點F且依次交拋物線及圓2于A,B,C,D四點,則|AB|+4|CD|的最小值為_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系中, 橢圓的中心在坐標原點,其右焦點為,且點 在橢圓上.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)橢圓的左、右頂點分別為,是橢圓上異于的任意一點,直線交橢圓于另一點,直線交直線于點, 求證:三點在同一條直線上
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的兩焦點分別為,,是橢圓在第一象限內(nèi)的一點,并滿足,過作傾斜角互補的兩直線、分別交橢圓于、兩點.
(1)求點坐標;
(2)當直線經(jīng)過點時,求直線的方程;
(3)求證直線的斜率為定值.
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