Question

18．如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面積為$\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$，側(cè)面積為36；
（1）求正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積；
（2）求異面直線A₁C與AB所成的角的大小．

Answer 1

分析 （1）設(shè)正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長為a，高為h，由底面積和側(cè)面積公式列出方程組，求出a=3，h=4，由此能求出正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積．
（2）由AB∥A₁B₁，知∠B₁A₁C是異面直線A₁C與AB所成的角（或所成角的補角），由此能求出異面直線A₁C與AB所成的角．

解答 解：（1）設(shè)正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長為a，高為h，
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}=\frac{9\sqrt{3}}{4}}\\{3ah=36}\end{array}\right.$，
解得a=3，h=4，
∴正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積V=S_△ABC•h=$\frac{9\sqrt{3}}{4}×4=9\sqrt{3}$．
（2）∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∴AB∥A₁B₁，
∴∠B₁A₁C是異面直線A₁C與AB所成的角（或所成角的補角），
連結(jié)B₁C，則A₁C=B₁C=$\sqrt{{h}^{2}+{a}^{2}}$5，
在等腰△A₁B₁C中，cos$∠{B}_{1}{{A}_{1}C}^{\;}$=$\frac{\frac{{A}_{1}{B}_{2}}{2}}{{A}_{1}C}$=$\frac{\frac{3}{2}}{5}=\frac{3}{10}$，
∵∠A₁B₁C∈（0，π），∴$∠{B}_{1}{A}_{1}C=arccos\frac{3}{10}$．
∴異面直線A₁C與AB所成的角為arccos$\frac{3}{10}$．

點評 本題考查正三棱柱的體積的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．