2.已知數(shù)列{bn}(n∈N*)是遞增的等比數(shù)列,且b1+b3=5,b1•b3=4.
(Ⅰ)若an=log2bn+3,證明:數(shù)列{an}是等差數(shù)列;
(Ⅱ)若cn=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$,求數(shù)列{cn}的前n項和Sn

分析 (Ⅰ)由b1+b3=5,b1b3=4,且b1<b3可求b1,b3,進(jìn)而可求公比q,代入等比數(shù)列的通項公式即可求解;由an=log2bn+3=n+2,要證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列,只要證明an+1-an=d(d為常數(shù));
(Ⅱ)利用裂項相消法可求數(shù)列{cn}的前n項和Sn

解答 解:(Ⅰ)∵b1+b3=5,b1•b3=4,且數(shù)列{bn}(n∈N*)遞增,
∴b1,b3是方程x2-5x+4=0的兩根,b1<b3
∴∴b1=1,b3=4
∴q=2(舍去負(fù)值).
∴bn=2n-1
∴an=log2bn+3=n+2.
∵an+1-an=(n+1)+2-(n+2)=1,
∴數(shù)列{an}是以3為首項,1為公差的等差數(shù)列.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得:cn=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{(n+2)(n+3)}$=$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{n+3}$,
則Sn=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{n+3}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{n+3}$=$\frac{n}{3(n+3)}$.

點評 本小題主要考查等比數(shù)列、數(shù)列通項公式、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

12.已知命題p:m>2,命題q:x2+2x-m>0對x∈[1,2]恒成立.若p∧q為真命題,則實數(shù)m的取值范圍是( 。
A.2<m<3B.m>2C.m<-1或m>2D.m<-1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

13.如圖,在四棱錐P-ABCD中,△ABC為正三角形,AB⊥AD,AC⊥CD,PC=$\sqrt{2}PA=\sqrt{2}$AC,平面PAC⊥平面ABCD.
(1)點E在棱PC上,試確定點E的位置,使得PD⊥平面ABE;
(2)求二面角A-PD-C的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

10.設(shè)函數(shù)f(x)=lg(x2+ax-a-1),給出下述命題:
①f(x)有最小值;
②當(dāng)a=0時,f(x)的值域為R;
③若f(x)在區(qū)間[2,+∞)上單調(diào)遞增,則實數(shù)a的取值范圍是a≥-4;
④a=1時,f(x)的定義域為(-1,0);
則其中正確的命題的序號是②.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

17.函數(shù)f(x)=$\sqrt{lo{g}_{2}x-1}$的定義域是( 。
A.(0,+∞)B.[1,+∞)C.(1,2]D.[2,+∞)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

7.三棱錐P-ABC中,∠APB=∠BPC=∠CPA=60°,則直線PC與平面PAB所成角的余弦值( 。
A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$C.$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$D.$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

14.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z與$\frac{5}{2-i}$對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱,則z等于( 。
A.2+iB.2-iC.-2+iD.-2-i

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

11.已知函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的,給出x,f(x)對應(yīng)值如表:
x123456
f(x)23.521.4-7.811.5-5.7-12.4
函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,6]上的零點至少有( 。
A.2個B.3個C.4個D.5個

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

12.已知全集U=R,集合A={x|x>4},B={x|-6<x<6}.
(1)求A∩B和A∪B;
(2)求∁UB;
(3)定義A-B={x|x∈A,且x∉B},求A-B,A-(A-B).

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案