Question

2．已知數(shù)列{b_n}（n∈N^*）是遞增的等比數(shù)列，且b₁+b₃=5，b₁•b₃=4．
（Ⅰ）若a_n=log₂b_n+3，證明：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）若c_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由b₁+b₃=5，b₁b₃=4，且b₁＜b₃可求b₁，b₃，進(jìn)而可求公比q，代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解；由a_n=log₂b_n+3=n+2，要證明數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，只要證明a_n+1-a_n=d（d為常數(shù)）；
（Ⅱ）利用裂項(xiàng)相消法可求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答 解：（Ⅰ）∵b₁+b₃=5，b₁•b₃=4，且數(shù)列{b_n}（n∈N^*）遞增，
∴b₁，b₃是方程x²-5x+4=0的兩根，b₁＜b₃．
∴∴b₁=1，b₃=4
∴q=2（舍去負(fù)值）．
∴b_n=2^n-1，
∴a_n=log₂b_n+3=n+2．
∵a_n+1-a_n=（n+1）+2-（n+2）=1，
∴數(shù)列{a_n}是以3為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：c_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+2）（n+3）}$=$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{n+3}$，
則S_n=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{n+3}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{n+3}$=$\frac{n}{3（n+3）}$．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查等比數(shù)列、數(shù)列通項(xiàng)公式、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力．