Question

12．對任意的x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，不等式sin²x+asinx+a+3≥0恒成立，則實數a的取值范圍是a≥-2．

Answer 1

分析 利用換元法令t=sinx，不等式可整理為t²+at+a+3≥0恒成立，得a≥$\frac{-{t}^{2}-3}{t+1}$，利用分離常數法求出右式的最大值即可．

解答 解：令t=sinx，
∴t∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴t²+at+a+3≥0恒成立，
∴a≥$\frac{-{t}^{2}-3}{t+1}$=-（t+1）-$\frac{4}{t+1}$+2，
令f（t）=-（t+1）-$\frac{4}{t+1}$=-[（t+1）+$\frac{4}{t+1}$]，
∴f（t）≤-4，
∴-（t+1）-$\frac{4}{t+1}$+2≤-2，
∴a≥-2．
故答案為a≥-2．

點評 考查了換元法的應用和恒成立問題的轉換．難點是利用分離常數法求最大值．