Question

2．已知若函數(shù)f（x）=x²+2（a-1）x+2
（1）當(dāng)a=2時(shí)，試證明f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（2）若f（f（2））=14，試求a的值；
（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，4）上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)的單調(diào)性定義證明即可．
（2）利用函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，通過(guò)求解方程根求解即可．
（3）利用二次函數(shù)的對(duì)稱軸以及開(kāi)口方向，列出不等式求解即可．

解答 （1）證明：當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=x²+2x+2，
設(shè)x₁＞x₂是定義域（0，+∞）上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x₁＞x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=${x_1}^2+2{x_1}+2-（{{x_2}^2+2{x_2}+2}）$=${x_1}^2-{x_2}^2+2{x_1}-2{x_2}$=（x₁+x₂）（x₁-x₂）+2（x₁-x₂）=（x₁-x₂）（x₁+x₂+2）
由于x₁，x₂∈（0，+∞），得x₁+x₂+2＞0，
由x₁＞x₂，得x₁-x₂＞0，于是f（x₁）-f（x₂）＞0．
所以f（x）在（0，+∞）是增函數(shù)．
（2）∵f（2）=4a+2∴f（f（2））=（4a+2）²+2（a-1）（4a+2）+2=24a²+12a+2
又f（f（2））=14，
因此，24a²+12a+2=14，
∴$a=\frac{1}{2}或a=-1$．
（3）∵f（x）=x²+2（a-1）x+2，
∴其圖象的對(duì)稱軸為$x=\frac{{-2（{a-1}）}}{2×1}=1-a$，
若要二次函數(shù)在（-∞，4]上是減函數(shù)，必需滿足1-a≥4，
因此，a≤-3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性以及二次函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．