Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)B在直線上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)B與l垂直的直線和AB的中垂線相交于點(diǎn)M．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P是軌跡E上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)R，N在y軸上，圓C：（θ為參數(shù)）內(nèi)切于△PRN，求△PRN的面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），由題設(shè)知|MB|=|MA|，然后根據(jù)拋物線的定義可求出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（Ⅱ）設(shè)P（x，y），R（0，b），N（0，c），且b＞c，求出直線PR的方程，消去參數(shù)θ，得圓的一般方程，然后根據(jù)圓心（1，0）到直線PR的距離為1，建立等式關(guān)系，化簡(jiǎn)變形可知，b，c為方程（x-2）x²+2yx-x=0的兩根，根據(jù)求根公式求出b-c，而△PRN的面積為，最后利用基本不等式求出最小值即可．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），由題設(shè)知，|MB|=|MA|．
所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為y²=2x．（4分）
（Ⅱ）設(shè)P（x，y），R（0，b），N（0，c），且b＞c，
故直線PR的方程為（y-b）x-xy+xb=0．
由消去參數(shù)θ，得（x-1）²+y²=1．（6分）
由題設(shè)知，圓心（1，0）到直線PR的距離為1，即 ．
注意到x＞2，化簡(jiǎn)上式，得（x-2）b²+2yb-x=0，同理可得（x-2）c²+2yc-x=0．
由上可知，b，c為方程（x-2）x²+2yx-x=0的兩根，根據(jù)求根公式，
可得．（10分）
故△PRN的面積為，
等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=4時(shí)成立．此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或時(shí)，△PRN的面積取最小值8．（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線，圓，拋物線，函數(shù)以及參數(shù)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查運(yùn)算能力以及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．