在平面直角坐標系中，已知點，點B在直線上運動，過點B與l垂直的直線和AB的中垂線相交于點M．
（Ⅰ）求動點M的軌跡E的方程；
（Ⅱ）設(shè)點P是軌跡E上的動點，點R，N在y軸上，圓C：（θ為參數(shù)）內(nèi)切于△PRN，求△PRN的面積的最小值．
【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)點M的坐標為（x，y），由題設(shè)知|MB|=|MA|，然后根據(jù)拋物線的定義可求出動點M的軌跡E的方程；
（Ⅱ）設(shè)P（x，y），R（0，b），N（0，c），且b＞c，求出直線PR的方程，消去參數(shù)θ，得圓的一般方程，然后根據(jù)圓心（1，0）到直線PR的距離為1，建立等式關(guān)系，化簡變形可知，b，c為方程（x-2）x2+2yx-x=0的兩根，根據(jù)求根公式求出b-c，而△PRN的面積為，最后利用基本不等式求出最小值即可．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)點M的坐標為（x，y），由題設(shè)知，|MB|=|MA|．
所以動點M的軌跡E是以為焦點，為準線的拋物線，其方程為y2=2x．（4分）
（Ⅱ）設(shè)P（x，y），R（0，b），N（0，c），且b＞c，
故直線PR的方程為（y-b）x-xy+xb=0．
由消去參數(shù)θ，得（x-1）2+y2=1．（6分）
由題設(shè)知，圓心（1，0）到直線PR的距離為1，即 ．
注意到x＞2，化簡上式，得（x-2）b2+2yb-x=0，同理可得（x-2）c2+2yc-x=0．
由上可知，b，c為方程（x-2）x2+2yx-x=0的兩根，根據(jù)求根公式，
可得．（10分）
故△PRN的面積為，
等號當(dāng)且僅當(dāng)x=4時成立．此時點P的坐標為或．
綜上所述，當(dāng)點P的坐標為或時，△PRN的面積取最小值8．（13分）
點評：本題主要考查直線，圓，拋物線，函數(shù)以及參數(shù)方程等基礎(chǔ)知識，同時考查運算能力以及分析問題和解決問題的能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，以O(shè)為極點，x正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為：pcos(θ-
π3
)=1，M，N分別為曲線C與x軸，y軸的交點，則MN的中點P在平面直角坐標系中的坐標為
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，A（3，0）、B（0，3）、C（cosθ，sinθ），θ∈(
π
2
，
3π
2
)，且|
AC
|=|
BC
|．
（1）求角θ的值；
（2）設(shè)α＞0，0＜β＜
π
2
，且α+β=
2
3
θ，求y=2-sin2α-cos2β的最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，如果x與y都是整數(shù)，就稱點（x，y）為整點，下列命題中正確的是
 
（寫出所有正確命題的編號）．
①存在這樣的直線，既不與坐標軸平行又不經(jīng)過任何整點
②如果k與b都是無理數(shù)，則直線y=kx+b不經(jīng)過任何整點
③直線l經(jīng)過無窮多個整點，當(dāng)且僅當(dāng)l經(jīng)過兩個不同的整點
④直線y=kx+b經(jīng)過無窮多個整點的充分必要條件是：k與b都是有理數(shù)
⑤存在恰經(jīng)過一個整點的直線．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，下列函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱的是（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，以點（1，0）為圓心，r為半徑作圓，依次與拋物線y2=x交于A、B、C、D四點，若AC與BD的交點F恰好為拋物線的焦點，則r=
 
．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案