分析 由acosA=bcosB及正弦定理可得:sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,又A∈(0,π),B∈(0,π),可得A=B或A+B=$\frac{π}{2}$. 由于C=$\frac{π}{3}$,即可得出B,設(shè)∠PBM=α,得PM=3sinα;PN=3sin($\frac{π}{3}$-α),α∈(0,$\frac{π}{3}$).于是PM+PN=3sin(α+$\frac{π}{3}$).由于α∈(0,$\frac{π}{3}$),可得sin(α+$\frac{π}{3}$)∈($\frac{\sqrt{3}}{2}$,1],即可得出.
解答 解:由$\frac{a}$=$\frac{cosB}{cosA}$,及正弦定理可得:sinAcosA=sinBcosB,
即sin2A=sin2B,又A∈(0,π),B∈(0,π),
∴有A=B或A+B=$\frac{π}{2}$.
又∵C=$\frac{π}{3}$,得A+B=$\frac{2π}{3}$,與A+B=$\frac{π}{2}$矛盾,
∴A=B,因此B=$\frac{π}{3}$.
設(shè)∠PBM=α,可得:
在Rt△PMB中,PM=PB•sin∠PBM=3sinα;
在Rt△PNB中,PN=PB•sin∠PBN=PB•sin($\frac{π}{3}$-∠PBA)=3sin($\frac{π}{3}$-α),α∈(0,$\frac{π}{3}$).
∴PM+PN=3sinα+3sin($\frac{π}{3}$-α)=3sin(α+$\frac{π}{3}$).
∵α∈(0,$\frac{π}{3}$),∴α+$\frac{π}{3}$∈($\frac{π}{3}$,$\frac{2π}{3}$),從而有sin(α+$\frac{π}{3}$)∈($\frac{\sqrt{3}}{2}$,1],
即3sin(α+$\frac{π}{3}$)∈($\frac{3\sqrt{3}}{2}$,3].
于是,當(dāng)α+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$,即α=$\frac{π}{6}$時,PM+PN取得最大值3.
故答案為:3.
點評 本題查克拉正弦定理、倍角公式、和差公式、三角函數(shù)的單調(diào)性,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
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A. | [-15,$\frac{1}{5}$] | B. | [-$\frac{5}{3}$,$\frac{9}{5}$] | C. | [-$\frac{5}{3}$,$\frac{1}{5}$] | D. | [-15,$\frac{9}{5}$] |
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A. | (0,$\frac{1}{2}$] | B. | [$\frac{1}{2}$,$\frac{2}{3}$) | C. | ($\frac{2}{3}$,1] | D. | [1,+∞) |
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