Question

19．已知雙曲線C與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1有公共焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)（2，$\sqrt{2}$）．求雙曲線C的方程．

Answer 1

分析 由雙曲線$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1求得其焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得c=2，由雙曲線的性質(zhì)可知：b²=4-a²，可設(shè)雙曲線方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{4-{a}^{2}}=1$，將點(diǎn)（2，$\sqrt{2}$）代入即可求得a和b的值，求得雙曲線C的方程．

解答 解：由雙曲線$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1焦點(diǎn)在x軸上，
焦點(diǎn)坐標(biāo)為：（-2，0），（2，0），
∴c=2，
由雙曲線的性質(zhì)可知：a²+b²=2²，則b²=4-a²，
設(shè)雙曲線方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{4-{a}^{2}}=1$，
又雙曲線過(guò)點(diǎn)（2，$\sqrt{2}$），代入可得：$\frac{4}{{a}^{2}}-\frac{2}{4-{a}^{2}}=1$，
解得：a²=2，b²=2
故所求雙曲線的方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}-\frac{{y}^{2}}{2}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查利用待定系數(shù)法求雙曲線的方程，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．