8.若不等式$\frac{{{x^2}-8x+20}}{{m{x^2}-mx-1}}$<0對一切x恒成立,則實數(shù)m的范圍是( 。
A.m>0或m<-4B.-4<m<0C.-4<m≤0D.0<m<4

分析 由不等式轉(zhuǎn)化為mx2-mx-1<0對任意實數(shù)x恒成立,對系數(shù)m分類討論,當(dāng)m=0時恒成立,當(dāng)m≠0時,利用二次函數(shù)的性質(zhì),列出關(guān)于m的不等式,求解即可得到m的取值范圍.

解答 解:因為x2-8x+20=(x-4)2+4≥4,不等式$\frac{{{x^2}-8x+20}}{{m{x^2}-mx-1}}$<0對一切x恒成立,
即不等式mx2-mx-1<0對任意實數(shù)x恒成立,
①當(dāng)m=0時,-1<0對任意實數(shù)x恒成立,
∴m=0符合題意;
②當(dāng)m≠0時,則有$\left\{\begin{array}{l}{m<0}\\{△={m}^{2}+4m<0}\end{array}\right.$,
解得∴-4<m<0,
∴實數(shù)m的取值范圍為-4<m<0.
綜合①②可得,實數(shù)m的取值范圍為-4<m≤0.
故選:C.

點評 本題考查了函數(shù)的恒成立問題.對于函數(shù)的恒成立問題,一般選用參變量分離法、最值法、數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行求解.本題解題的關(guān)鍵是運用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解,要注意對系數(shù)的討論,運用了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法.屬于中檔題.

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