Question

8．若不等式$\frac{{{x^2}-8x+20}}{{m{x^2}-mx-1}}$＜0對一切x恒成立，則實(shí)數(shù)m的范圍是（　�。�

• A． m＞0或m＜-4
• B． -4＜m＜0
• C． -4＜m≤0
• D． 0＜m＜4

Answer 1

分析 由不等式轉(zhuǎn)化為mx²-mx-1＜0對任意實(shí)數(shù)x恒成立，對系數(shù)m分類討論，當(dāng)m=0時(shí)恒成立，當(dāng)m≠0時(shí)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，列出關(guān)于m的不等式，求解即可得到m的取值范圍．

解答 解：因?yàn)閤²-8x+20=（x-4）²+4≥4，不等式$\frac{{{x^2}-8x+20}}{{m{x^2}-mx-1}}$＜0對一切x恒成立，
即不等式mx²-mx-1＜0對任意實(shí)數(shù)x恒成立，
①當(dāng)m=0時(shí)，-1＜0對任意實(shí)數(shù)x恒成立，
∴m=0符合題意；
②當(dāng)m≠0時(shí)，則有$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{△={m}^{2}+4m＜0}\end{array}\right.$，
解得∴-4＜m＜0，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為-4＜m＜0．
綜合①②可得，實(shí)數(shù)m的取值范圍為-4＜m≤0．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的恒成立問題．對于函數(shù)的恒成立問題，一般選用參變量分離法、最值法、數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行求解．本題解題的關(guān)鍵是運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解，要注意對系數(shù)的討論，運(yùn)用了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法．屬于中檔題．