Question

2．已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為A（0，-$\sqrt{2}$），焦點(diǎn)在x軸上．若右焦點(diǎn)到直線x-y+2$\sqrt{2}$=0的距離為3
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）P是橢圓上的點(diǎn)，且以點(diǎn)P及兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積等于1，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）依題意可設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，求出右焦點(diǎn)F（$\sqrt{{a}^{2}-2}$，0），由點(diǎn)到直線距離公式能求出a，由此能求出所求橢圓的方程．
（2）設(shè)P（x，y），由三角形面積為1，得：$\frac{1}{2}•2\sqrt{2}•|y|=1$，由此能求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）依題意可設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，則右焦點(diǎn)F（$\sqrt{{a}^{2}-2}$，0），
由題設(shè)$\frac{|\sqrt{{a}^{2}-2}+2\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}=3$，解得a²=4，
故所求橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（2）設(shè)P（x，y），由三角形面積為1，
得：$\frac{1}{2}•2\sqrt{2}•|y|=1$，解得y=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$，
代入橢圓，得$x=±\sqrt{3}$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)有四個(gè)，分別為（-$\sqrt{3}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），（-$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），（$\sqrt{3}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），（$\sqrt{3}，\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)和點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．