Question

11．設(shè)a＞b＞1，則下列不等式成立的是（　�。�

• A． alnb＞blna
• B． alnb＜blna
• C． ae^b＞be^a
• D． ae^b＜be^a

Answer 1

分析 令$f（x）=\frac{lnx}{x}\;（{x＞0}）$，求出f（x）的單調(diào)性判斷A、B，令$g（x）=\frac{e^x}{x}$，同理判斷C、D．

解答 解：令$f（x）=\frac{lnx}{x}\;（{x＞0}）$，則$f'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}$，令f′（x）=0，則x=e，
當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，1-lnx＞0，f′（x）＞0，
當(dāng)x∈[e，+∞）時(shí)，1-lnx＜0，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，e）遞增，在（e，+∞）遞減，
∵e∈（1，+∞），
∴e＞a＞b時(shí)，f（b）＜f（a），即$\frac{lnb}$＜$\frac{lna}{a}$，即alnb＜blna，
而a＞b＞e時(shí)，$\frac{lnb}$＞$\frac{lna}{a}$，即alnb＞blna，
故A、B錯(cuò)誤；
令$g（x）=\frac{e^x}{x}$，同理可知，函數(shù)g（x）的增區(qū)間為[1，+∞），減區(qū)間為（-∞，1），
∴當(dāng)a＞b＞1時(shí)，g（a）＞g（b），即$\frac{e^a}{a}＞\frac{e^b}$，即ae^b＜be^a，
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)以及熟練應(yīng)用導(dǎo)數(shù)是解題的關(guān)鍵．