Question

12．已知函數(shù)f（x）=x-ln（x+a）的最小值為0，其中a＞0．設(shè)g（x）=lnx+$\frac{m}{x}$，
（1）求a的值；
（2）對(duì)任意x₁＞x₂＞0，$\frac{{g（{x_1}）-g（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＜1恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）討論方程g（x）=f（x）+ln（x+1）在[1，+∞）上根的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的定義域，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，極值點(diǎn)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，列出方程求解即可．
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，求解即可．
（3）推出$\frac{m}{x}=x-lnx（x≥1）$，通過圖象知m≥1時(shí)有一個(gè)根，m＜1時(shí)無根，或利用函數(shù)的最值判斷求解即可．

解答 解：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?a，+∞）．f′（x）=1-$\frac{1}{x+a}$=$\frac{x+a-1}{x+a}$．
由f′（x）=0，解得x=1-a＞-a．
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-a，1-a）	1-a	（1-a，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	減函數(shù)	極小值	增函數(shù)

因此，f（x）在x=1-a處取得最小值，
故由題意f（1-a）=1-a=0，所以a=1．…（4分）
（2）由$\frac{{g（{x_1}）-g（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＜1知g（x₁）-x₁＜g（x₂）-x₂對(duì)x₁＞x₂＞0恒成立
即h（x）=g（x）-x=lnx-x+$\frac{m}{x}$是（0，+∞）上的減函數(shù)．
h'（x）=$\frac{1}{x}-1-\frac{m}{x^2}$≤0對(duì)（0，+∞）恒成立，m≥x-x²對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，
（x-x²）_max=$\frac{1}{4}$，m≥$\frac{1}{4}$…（8分）
（3）由題意知lnx+$\frac{m}{x}$=x，$\frac{m}{x}$=x-lnx（x≥1）
由圖象知m≥1時(shí)有一個(gè)根，m＜1時(shí)無根．…（12分）
或解：m=x²-xlnx，（x²-xlnx）'=2x-lnx-1，x≥1，
又可求得x≥1時(shí)（2x-lnx-1）_min=1＞0，
∴x²-xlnx在x≥1時(shí) 單調(diào)遞增．x≥1時(shí)，x²-xlnx≥1，m≥1時(shí)有一個(gè)根，m＜1時(shí)無根．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查函數(shù)的最值的求法，考查分類討論思想以及計(jì)算能力．