Question

8．如圖，在幾何體ABCDE中，四邊形ABCD是正方形，△BCE是正三角形，AB⊥平面BCE，F(xiàn)，G分別是線段CD，BE的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：直線FG∥平面ADE；
（Ⅱ）若AB=2，求三棱錐A-DEG的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AE的中點(diǎn)H，連接HG，HD，通過(guò)證明四邊形HGFD是平行四邊形來(lái)證明GF∥DH，由線面平行的判定定理可得；
（Ⅱ）利用等體積轉(zhuǎn)換，即可求三棱錐A-DEG的體積．

解答 （Ⅰ）證明：如圖，取AE的中點(diǎn)H，連接HG，HD
∵G是BE的中點(diǎn)，∴GH∥AB，且GH=$\frac{1}{2}$AB，
又∵F是CD中點(diǎn)，四邊形ABCD是正方形，
∴DF∥AB，且DF=$\frac{1}{2}$AB，即GH∥DF，且GH=DF，
∴四邊形HGFD是平行四邊形，∴GF∥DH，
又∵DH?平面ADE，GF?平面ADE，∴GF∥平面ADE．
（Ⅱ）解：連接CG，
∵AB⊥平面BCE，CG?面BCE，
∴AB⊥CG，
∵△BCE是正三角形，G是線段BE的中點(diǎn)，
∴CG⊥BE，
∵AB∩BE=B，
∴CG⊥平面ABE，
∵△BCE是正三角形，AB=2，
∴CG=$\sqrt{3}$，
∵CD∥AB，AB?平面ABE，CD?平面ABE，
∴CD∥平面ABE，
∴D到平面AEG的距離等于CG，即$\sqrt{3}$
∴三棱錐A-DEG的體積=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×2×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間線面位置關(guān)系，考查三棱錐體積的計(jì)算，考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．