Question

已知函數(shù)f（x）=x³-x²（[x]+

3

2

）+x，x∈[0，2），（其中[x]表示不大于x的最大整數(shù)，如[0.1]=0，[-0.2]=-1），g（x）=kx（k≠0），若函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是（　�。�

• A、（-

  9

  16

  ，-

  1

  2

  ]∪（

  7

  16

  ，

  1

  2

  ]
• B、（-

  1

  2

  ，0）∪[

  1

  2

  ，1]
• C、（-

  1

  2

  ，0）∪[

  1

  2

  ，1]∪{-

  9

  16

  ，

  7

  16

  }
• D、（-

  1

  2

  ，0）∪[

  1

  2

  ，1）∪{-

  9

  16

  ，

  7

  16

  }

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：化為分段函數(shù)，當(dāng)g（x）與f（x）相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出斜率k，分析每個(gè)選項(xiàng)，得到正確答案

解答： 解：f（x）=x³-x²（[x]+

3

2

）+x=

x3- 3 2 x2+x，x∈[0，1) x3- 5 2 x2+x，x∈[1.2)

，
g（x）=kx（k≠0）的圖象恒過點(diǎn)（0，0），
當(dāng)g（x）與f（x）相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，
∵f（x）=x³-

3

2

x²+x，
∴f′（x）=3x²-3x+1，
∴k=3x₀²-3x₀+1，①
∴y₀=kx₀，②x₀³-

3

2

x₀²+x₀=y₀，③
由①②③構(gòu)成方程組，
解得當(dāng)x=

3

4

時(shí)，k=

7

16

，
當(dāng)x=0，k=1，
故k=1時(shí)，g（x）與f（x）只有一個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，
∵f（x）=x³-

5

2

x²+x，
∴f′（x）=3x²-5x+1，
∴k=3x₀²-5x₀+1，④
∴y₀=kx₀，⑤x₀³-

5

2

x₀²+x₀=y₀，⑥
由④⑤⑥構(gòu)成方程組，
解得k=-

9

16

，
（為了讓學(xué)生明白，畫出函數(shù)的圖象，如圖所示）
故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根據(jù)根的存在性及根的個(gè)數(shù)的判斷，利用導(dǎo)數(shù)和幾何意義，求出曲線切線的斜率，培養(yǎng)可學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算能力，屬于難題