Question

4．已知直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²-4ρsinθ+3=0，A、B兩點(diǎn)極坐標(biāo)分別為（1，π）、（1，0）．
（1）求曲線C的參數(shù)方程；
（2）在曲線C上取一點(diǎn)P，求|AP|²+|BP|²的最值．

Answer 1

分析 （1）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²-4ρsinθ+3=0，把ρ²=x²+y²，y=ρsinθ代入可得C的直角坐標(biāo)方程，配方可得參數(shù)方程．
（2）A、B兩點(diǎn)極坐標(biāo)分別為（1，π）、（1，0），分別化為直角坐標(biāo)：（-1，0），（1，0）．令P（cosα，2+sinα），則|AP|²+|BP|²=8sinα+12，利用sinα的值域即可得出最值．

解答 解：（1）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²-4ρsinθ+3=0，
把ρ²=x²+y²，y=ρsinθ代入可得C的直角坐標(biāo)方程：x²+y²-4y+3=0，
配方為x²+（y-2）²=1，
可得參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=2+sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）．
（2）A、B兩點(diǎn)極坐標(biāo)分別為（1，π）、（1，0），
分別化為直角坐標(biāo)：（-1，0），（1，0）．
令P（cosα，2+sinα），
則|AP|²+|BP|²=（cosα+1）²+（2+sinα）²+（cosα-1）²+（2+sinα）²=8sinα+12，
當(dāng)sinα=-1時(shí)，有最小值4；當(dāng)sinα=1時(shí)，有最大值20．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直角坐標(biāo)方程化為參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、兩點(diǎn)之間的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．