Question

拋物線y²=12x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為其準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△FPM為等邊三角形時(shí)，則△FPM的外接圓的方程為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：利用拋物線的定義得出PM垂直于拋物線的準(zhǔn)線，設(shè)M（-3，m），則P（9，m），求出△PMF的邊長(zhǎng)，寫(xiě)出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，得到外心Q的坐標(biāo)，△FPM的外接圓的半徑，從而求出其方程．

解答： 解：據(jù)題意知，△PMF為等邊三角形，PF=PM，
∴PM⊥拋物線的準(zhǔn)線，F(xiàn)（3，0）
設(shè)M（-3，m），則P（9，m），等邊三角形邊長(zhǎng)為12，如圖．
在直角三角形APF中，PF=12，解得外心Q的坐標(biāo)為（3，±4

3

）． 則△FPM的外接圓的半徑為4

3

，
∴則△FPM的外接圓的方程為(x-3)2+(y±4

3

)2=48．
故答案為：(x-3)2+(y±4

3

)2=48．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，直線與拋物線的綜合問(wèn)題．考查了學(xué)生綜合把握所學(xué)知識(shí)和基本的運(yùn)算能力