Question

8．設圓x²+y²-2x-15=0的圓心為F₁，直線l過點F₂（-1，0）且交圓F₁于P，Q兩點，線段PF₂的垂直平分線交線段PF₁于M點．
（1）證明|MF₁|+|MF₂|為定值，并寫出點M的軌跡方程；
（2）設點M的軌跡為T，T與x軸交點為A，B，直線l與T交于C，D兩點，記△ABD與△ABC的面積分別為S₁和S₂，求|S₁-S₂|的最大值．

Answer 1

分析 （1）求得圓的圓心和半徑，運用垂直平分線的性質定理和橢圓的定義，即可得到所求和為定值，及M的軌跡方程；
（2）設直線l的方程為：x=my-1（m∈R），代入橢圓方程，運用韋達定理和三角形的面積公式，運用基本不等式，即可得到所求最大值，注意等號成立的條件．

解答 解：（1）證明：由圓x²+y²-2x-15=0，得（x-1）²+y²=16，
所以圓心為F₁（1，0），半徑為4．
連MF₁，由l是線段PF₂的垂直平分線，得|MF₂|=|MP|，
|MF₁|+|MF₂|=|MF₁|+|MP|=|F₁P|=4，又|F₁F₂|=2＜4．
根據橢圓的定義知，點M 的軌跡是以F₁，F₂為焦點，4為長軸的橢圓，
其方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）設直線l的方程為：x=my-1（m∈R），
由$\left\{\begin{array}{l}{x=my-1}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，得（4+3m²）y²-6my-9=0．
設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則y₁+y₂=$\frac{6m}{4+3{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{9}{4+3{m}^{2}}$＜0，
所以，S₁=$\frac{1}{2}$|AB|•|y₂|，S₂=$\frac{1}{2}$|AB|•|y₁|，
|S₁-S₂|=$\frac{1}{2}$|AB|（|y₁|-|y₂|）=$\frac{1}{2}$×4×|y₁+y₂|=$\frac{12|m|}{4+3{m}^{2}}$，
當m≠0時，|S₁-S₂|=$\frac{12|m|}{4+3{m}^{2}}$≤$\frac{12|m|}{2\sqrt{12{m}^{2}}}$=$\sqrt{3}$（m∈R），
由3m²=4，得 m=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
當m=0時，|S₁-S₂|=0＜$\sqrt{3}$，
從而，當m=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$時，|S₁-S₂|取得最大值$\sqrt{3}$．

點評 本題考查軌跡方程的求法，注意運用垂直平分線的性質和橢圓的定義，考查三角形的面積之差的最值的求法，注意運用聯立直線方程和橢圓方程，運用韋達定理和三角形的面積公式，結合基本不等式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．