Question

11．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O為正方形ABCD的中心，則D₁O與平面ABCD所成的角的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{6}$

Answer 1

分析 由D₁D⊥平面ABCD，得∠DOD₁是D₁O與平面ABCD所成的角（或所成角的補角），由此能求出D₁O與平面ABCD所成的角的余弦值．

解答 解：在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O為正方形ABCD的中心，
∵D₁D⊥平面ABCD，
∴∠DOD₁是D₁O與平面ABCD所成的角（或所成角的補角），
設正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱長為1，
則DO=$\frac{1}{2}\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，D₁O=$\sqrt{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴cos∠DOD₁=$\frac{DO}{{D}_{1}O}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴D₁O與平面ABCD所成的角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故選：B．

點評 本題考查線面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉化思想、數(shù)形結合思想，是中檔題．