Question

15．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，P是橢圓C上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)P到橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)的最大距離等于$\sqrt{2}$+1
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若過點(diǎn)M（2，0）的直線與橢圓C相交于不同兩點(diǎn)A，B，設(shè)N為橢圓上一點(diǎn)，是否存在整數(shù)t，使得t•$\overrightarrow{ON}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）？若存在，試求整數(shù)t的所有取值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得a²=2b²，代入點(diǎn)（0，-1），可求解a，b的值，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）設(shè)出直線方程，和橢圓聯(lián)立后化為關(guān)于x的一元二次方程，由判別式大于0求出k的范圍，利用根與系數(shù)關(guān)系得到A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和與積，代入t•$\overrightarrow{ON}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$后得到P點(diǎn)的坐標(biāo)，把P點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程后得到t與k的關(guān)系，由k的范圍確定t的范圍，可得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由題知離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以a²=2b²．
又因?yàn)辄c(diǎn)P到橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)的最大距離等于$\sqrt{2}$+1，
所以a+c=$\sqrt{2}$+1，所以b²=1，a²=2．
故C的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1…（3分）
（Ⅱ）由題意知直線直線AB的斜率存在．
設(shè)AB方程為y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），
由y=k（x-2）代入$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0．
△=64k²-4（2k²+1）（8k²-2）＞0，
∴k²＜$\frac{1}{2}$．  …（5分）
x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{8{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
∵t•$\overrightarrow{ON}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，∴（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x，y）．
∴x=$\frac{8{k}^{2}}{t（1+2{k}^{2}）}$，y=-$\frac{4k}{t（1+2{k}^{2}）}$．…（8分）
∵點(diǎn)N在橢圓上，∴[$\frac{8{k}^{2}}{t（1+2{k}^{2}）}$]²+2•[-$\frac{4k}{t（1+2{k}^{2}）}$]=2，
∴16k²=t²（1+2k²），
∴t²=$\frac{16}{\frac{1}{{k}^{2}}+2}$＜4，
∴-2＜t＜2．
∴整數(shù)t值為-1，0，1．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，訓(xùn)練了利用代入法求解變量的取值范圍．屬中檔題．