Question

如圖所示，程序框圖給出了無窮正項數(shù)列{a_n}滿足的條件，且當k=5時，輸出的S是

5

11

；當k=10時，輸出的S是

10

21

．
（1）試求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）試求當k=10時，輸出的T的值．（寫出必要的解題步驟）

Answer 1

考點：循環(huán)結構

專題：圖表型,等差數(shù)列與等比數(shù)列,算法和程序框圖

分析：（Ⅰ）模擬執(zhí)行程序可知，S=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

akak+1

，由

1

akak+1

=

1

d

(

1

ak

-

1

ak+1

)得S=

k

a1ak+1

，由題意可知，

1 d ( 1 a1 - 1 a6 )= 5 11 1 d ( 1 a1 - 1 a11 )= 10 21

，解得：a₁，d，從而可求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅱ）由框圖和（1）可得當k=10時，T=1•2¹+3•2²+…+19•2¹⁰，又2T=1•2²+3•2³+…+17•2¹⁰+19•2¹¹，兩式相減即可解得T的值．

解答： 解：（Ⅰ）觀察框圖可知，數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，設其公差為d，
又可知，S=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

akak+1

…（2分）
由

1

akak+1

=

1

d

(

1

ak

-

1

ak+1

)得S=

1

d

(

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a3

+…+

1

ak

-

1

ak+1

)=

1

d

(

1

a1

-

1

ak+1

)=

k

a1ak+1

…（4分）
由題意可知，k=5時，S=

5

11

；k=10時，S=

10

21

∴

1 d ( 1 a1 - 1 a6 )= 5 11 1 d ( 1 a1 - 1 a11 )= 10 21

，解得：

a1=1 d=2

或

a1=-1 d=-2

(舍去)
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1…（6分）
（Ⅱ）由框圖和（1）可得：
當k=10時，T=1•2¹+3•2²+…+19•2¹⁰…（8分）
∴2T=1•2²+3•2³+…+17•2¹⁰+19•2¹¹
兩式相減可得：-T=1•2¹+2•2²+2•2³+…+2•2¹⁰-19•2¹¹=2¹+2³+2⁴+…+2¹¹-19•2¹¹…（10分）
=

22(1-210)

1-2

-19•211-2=2²（2¹⁰-1）-19•2¹¹-2
∴T=17•2¹¹+6=34822…（12分）

點評：本題主要考查了等差數(shù)列通項公式的求法，考查了程序框圖和算法，綜合性較強，屬于中檔題．