Question

（本題滿分16分）已知函數.

（1）若，且不等式在上恒成立，求證:；

（2）若，且不等式在上恒成立，求實數的取值范圍；

（3）設，求不等式在上恒成立的充要條件.

 

Answer 1

（1）證明詳見解析；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）只要找到不等式在上恒成立的條件，就能達到證明的目的，對于開口向上的拋物線，函數值非負的條件是；（2）恒成立求參數范圍，經常采用參數分離法，然后將問題轉化為求函數最值，至于最值的求法可用不等式或導數求得；（3）且，所以問題就轉化為研究在上的最值，從而求出的范圍.

試題解析：（1）不等式在上恒成立，即，即在上恒成立，因為，必有成立，即，又，所以有成立.

（2）當時，不等式在上恒成立，即，即在上恒成立，當時，不等式顯然成立，當時，可轉化為在上恒成立，設（），則有，所以在上為減函數，，所以在上恒成立，只需，即.

（3）當時，不等式在上恒成立，即在上恒成立，因為，函數的圖象開口向下，對稱軸為，，結合二次函數的圖象，可將問題可等價轉化為：或或，解得或或，綜上即，.

考點：與二次函數相關的不同形態(tài)的恒成立問題，以及數形結合思想、分類討論思想.