Question

18．設(shè)S_n是數(shù)列{a_n}（n∈N⁺）的前n項(xiàng)和，n≥2時(shí)點(diǎn)（a_n-1，2a_n）在直線y=2x+1上，且{a_n}的首項(xiàng)a₁是二次函數(shù)y=x²-2x+3的最小值，則S₉的值為（　　）

• A． 6
• B． 7
• C． 36
• D． 32

Answer 1

分析 先根據(jù)數(shù)列的函數(shù)特征以及二次函數(shù)的最值，化簡(jiǎn)整理得到{a_n}是以為2首項(xiàng)，以$\frac{1}{2}$為公差的等差數(shù)列，再根據(jù)前n項(xiàng)公式求出即可．

解答 解∵點(diǎn)（a_n-1，2a_n）在直線y=2x+1上，
∴2a_n=2a_n-1+1，
∴a_n-a_n-1=$\frac{1}{2}$，
∵二次函數(shù)y=x²-2x+3=（x-1）²+2，
∴a₁=2，
∴{a_n}是以為2首項(xiàng)，以$\frac{1}{2}$為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=2+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{1}{2}$n+$\frac{3}{2}$
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=$\frac{1}{2}$n+$\frac{3}{2}$=2成立，
∴a_n=$\frac{1}{2}$n+$\frac{3}{2}$
∴S₉=9a₁+$\frac{9（9-1）d}{2}$=9×2+$\frac{9×8×\frac{1}{2}}{2}$=36
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)以及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，以及數(shù)列的函數(shù)特征以及二次函數(shù)的最值問(wèn)題，屬于中檔題．