Question

3．已知偶函數(shù)F（x）=$\frac{f（x）}{x}$，且f（-1）=0，當(dāng)x＞0時，xf′（x）-f（x）＜0，則使得f（x）＞0的x的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-1）∪（0，1）
• B． （-1，0）∪（1，+∞）
• C． （-∞，-1）∪（-1，0）
• D． （0，1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 由已知當(dāng)x＞0時總有xf′（x）-f（x）＜0成立，可判斷函數(shù)F（x）=$\frac{f（x）}{x}$，為減函數(shù)，F(xiàn)（x）為偶函數(shù)，函數(shù)F（x）在（-∞，0）上的單調(diào)性，而不等式f（x）＞0等價于x•g（x）＞0，數(shù)形結(jié)合解不等式組即可得到答案．

解答 解：F（x）=$\frac{f（x）}{x}$，F(xiàn)′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
當(dāng)x＞0時，xf′（x）-f（x）＜0，
∴F′（x）＜0，
F（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，
F（x）為偶函數(shù)，F(xiàn)（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，
F（-1）=$\frac{f（-1）}{-1}$=0，
∴不等式f（x）＞0?x•F（x）＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{F（x）＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{F（x）＜0}\end{array}\right.$，
解得：0＜x＜1或x＜-1，
∴f（x）＞0成立的x的取值范圍是（-∞，-1）∪（0，1），
故答案選：A．

點(diǎn)評 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并由函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式，綜合能力較強(qiáng)，屬于中檔題．