Question

15．在平面直角坐標系xOy中，已知直線l：3x-4y+5=0與圓C：（x-4）²+（y-3）²=4相交于點A、B，則$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$的值是-2．

Answer 1

分析 先根據(jù)點到直線的距離公式求出CD=1，再解三角形得到∠A0B=120°，根據(jù)數(shù)量積公式計算即可．

解答 解：圓C：（x-4）²+（y-3）²=4，
∴圓心C的坐標為（4，3），半徑為2，
∴圓心C到直線l的距離為CD=$\frac{|3×4-4×3+5|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=1，
∴在Rt△ACD中，CD=1，AB=2，∠CDA=90°，
∴∠ACD=60°，
∴∠A0B=120°，
∴$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=|$\overrightarrow{CA}$|•|$\overrightarrow{CB}$|cos12°=2×2×（-$\frac{1}{2}$）=-2，
故答案為：-2．

點評 本題考查了向量數(shù)量積的運算，以及點到直線的距離和解直角三角形的問題，屬于中檔題．