【題目】設(shè)相互垂直的直線分別過(guò)橢圓的左、右焦點(diǎn),,且與橢圓的交點(diǎn)分別為、.

1)當(dāng)的傾斜角為時(shí),求以為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2)問(wèn)是否存在常數(shù),使得恒成立?若存在,求的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)存在,使得恒成立,詳見(jiàn)解析

【解析】

1)將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,列出韋達(dá)定理,計(jì)算出線段的中點(diǎn)坐標(biāo),利用弦長(zhǎng)公式計(jì)算出,于此得出圓心坐標(biāo)和半徑長(zhǎng),再寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)式方程;

2)對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論,在直線的斜率不存在時(shí),分別計(jì)算出,可計(jì)算出的值,在直線的斜率存在且不為零時(shí),設(shè)直線的方程為

,將該直線方程與橢圓方程聯(lián)立,利用弦長(zhǎng)公式以及韋達(dá)定理計(jì)算出,同理計(jì)算出,代入題中等式計(jì)算出的值,從而說(shuō)明實(shí)數(shù)存在。

1)由題意可設(shè)的方程為,代入可得

所以,的中點(diǎn)坐標(biāo)為  

所以,以為直徑的圓的方程為

2)假設(shè)存在常數(shù),使得恒成立.

①當(dāng)軸垂直或軸垂直時(shí),

②設(shè)直線的方程為,則直線的方程為

的方程代入得:

由韋達(dá)定理得:,,

所以

同理可得

所以

因此,存在,使得恒成立.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

(1)若恒成立,求處的切線方程;

(2)若有且只有兩個(gè)整數(shù)解,求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,PA⊥底面ABCD,PA1,點(diǎn)M是棱PC上的一點(diǎn),且AMPB

1)求三棱錐CPBD的體積;

2)證明:AM⊥平面PBD

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在四棱錐PABCD中,PA⊥底面ABCD,ADAB,ABDC,ADDCAP2,AB1,點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn).

(1)證明:BEDC;

(2)求直線BE與平面PBD所成角的正弦值;

(3)F為棱PC上一點(diǎn),滿足BFAC,求二面角FABP的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知橢圓C的離心率為,且過(guò)點(diǎn)

求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

設(shè)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N試問(wèn):在x軸上是否存在點(diǎn)Q,使得直線QM與直線QN的斜率的和為定值?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)及定值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù),,的取值范圍是

A. B. C. D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知曲線

(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;

(2)求曲線過(guò)點(diǎn)的切線方程

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】為了調(diào)查民眾對(duì)國(guó)家實(shí)行新農(nóng)村建設(shè)政策的態(tài)度,現(xiàn)通過(guò)網(wǎng)絡(luò)問(wèn)卷隨機(jī)調(diào)查了年齡在20周歲至80周歲的100人,他們年齡頻數(shù)分布和支持新農(nóng)村建設(shè)人數(shù)如下表:

年齡

頻數(shù)

10

20

30

20

10

10

支持新農(nóng)村建設(shè)

3

11

26

12

6

2

1)根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填下面的列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為以50歲為分界點(diǎn)對(duì)新農(nóng)村建設(shè)政策的支持度有差異;

年齡低于50歲的人數(shù)

年齡不低于50歲的人數(shù)

合計(jì)

支持

不支持

合計(jì)

2)現(xiàn)從年齡在內(nèi)的5名被調(diào)查人中任選兩人去參加座談會(huì),求選出兩人中恰有一人支持新農(nóng)村建設(shè)的概率.

參考數(shù)據(jù):

0.150

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

參考公式:,其中.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】為了解某品種一批樹(shù)苗生長(zhǎng)情況,在該批樹(shù)苗中隨機(jī)抽取了容量為120的樣本,測(cè)量樹(shù)苗高度(單位:,經(jīng)統(tǒng)計(jì),其高度均在區(qū)間,內(nèi),將其按,,,,,,,,分成6組,制成如圖所示的頻率分布直方圖.其中高度為及以上的樹(shù)苗為優(yōu)質(zhì)樹(shù)苗.

(1)求圖中的值,并估計(jì)這批樹(shù)苗的平均高度(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);

(2)已知所抽取的這120棵樹(shù)苗來(lái)自于,兩個(gè)試驗(yàn)區(qū),部分?jǐn)?shù)據(jù)如下列聯(lián)表:

試驗(yàn)區(qū)

試驗(yàn)區(qū)

合計(jì)

優(yōu)質(zhì)樹(shù)苗

20

非優(yōu)質(zhì)樹(shù)苗

60

合計(jì)

將列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷是否有的把握認(rèn)為優(yōu)質(zhì)樹(shù)苗與,兩個(gè)試驗(yàn)區(qū)有關(guān)系,并說(shuō)明理由.

下面的臨界值表僅供參考:

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

(參考公式:,其中

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