Question

【題目】設(shè)相互垂直的直線，分別過(guò)橢圓的左、右焦點(diǎn)，，且與橢圓的交點(diǎn)分別為、和、.

（1）當(dāng)的傾斜角為時(shí)，求以為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）問(wèn)是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）存在，使得恒成立，詳見(jiàn)解析

【解析】

（1）將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，計(jì)算出線段的中點(diǎn)坐標(biāo)，利用弦長(zhǎng)公式計(jì)算出，于此得出圓心坐標(biāo)和半徑長(zhǎng)，再寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)式方程；

（2）對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，在直線的斜率不存在時(shí)，分別計(jì)算出和，可計(jì)算出的值，在直線的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線的方程為

，將該直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式以及韋達(dá)定理計(jì)算出，同理計(jì)算出，代入題中等式計(jì)算出的值，從而說(shuō)明實(shí)數(shù)存在。

（1）由題意可設(shè)的方程為，代入可得．

所以，的中點(diǎn)坐標(biāo)為． 　

又，

所以，以為直徑的圓的方程為．

（2）假設(shè)存在常數(shù)，使得恒成立．

①當(dāng)與軸垂直或與軸垂直時(shí)，

；

②設(shè)直線的方程為，則直線的方程為．

將的方程代入得：．

由韋達(dá)定理得：，，

所以．

同理可得．

所以．

因此，存在，使得恒成立．