【題目】已知函數(shù).

（1）若恒成立，求在處的切線方程；

（2）若有且只有兩個整數(shù)解，求的取值范圍.

【答案】（1）（2）

【解析】

(1)由恒成立可知即，即可得到在處的切線方程；

(2)可化簡為.對a分類討論，當時，顯然不適合，當時，原不等式可化為，數(shù)形結合分析可得結果.

（1）∵，∴.

∵恒成立，∴，∴.

當時，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

∴恒成立，∴符合題意.

∴，，故，，

∴在處的切線方程為，即.

（2）∵，化簡即.

（i）當時，時，，∴恒成立，

此時有無數(shù)個整數(shù)解，不合題意；

（ii）當時，原不等式可化為，令.

∴，令，∴，∴在上單調(diào)遞增.

又，，∴存在唯一使得.

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且.

又，，，，

∴當原不等式有且只有兩個整數(shù)解時，，

即.

練習冊系列答案
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【題目】已知拋物線與軸交于點,直線與拋物線交于點，兩點．直線,分別交橢圓于點、（,與不重合）

(1)求證：；

(2)若,求直線的斜率的值；

(3)若為坐標原點,直線交橢圓于，，若,且,則是否為定值？若是,求出定值；若不是,請說明理由．

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【題目】設是圓上的任意一點，是過點且與軸垂直的直線，是直線與軸的交點，點在直線上，且滿足.當點在圓上運動時，記點的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）已知點，過的直線交曲線于兩點，交直線于點.判定直線的斜率是否依次構成等差數(shù)列？并說明理由.

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【題目】2019年春節(jié)期間，我國高速公路繼續(xù)執(zhí)行“節(jié)假日高速免費政策”.某路橋公司為掌握春節(jié)期間車輛出行的高峰情況，在某高速收費點處記錄了大年初三上午9:20～10:40這一時間段內(nèi)通過的車輛數(shù)，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)這一時間段內(nèi)共有600輛車通過該收費點，它們通過該收費點的時刻的頻率分布直方圖如圖所示，其中時間段9:20～9：40記作區(qū)間，9:40～10:00記作，10:00～10:20記作，10:20～10:40記作.比方：10點04分，記作時刻64.

（1）估計這600輛車在9:20～10:40時間段內(nèi)通過該收費點的時刻的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；

（2）為了對數(shù)據(jù)進行分析，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這600輛車中抽取10輛，再從這10輛車中隨機抽取4輛，記為9:20～10:00之間通過的車輛數(shù)，求的分布列與數(shù)學期望；

（3）由大數(shù)據(jù)分析可知，車輛在春節(jié)期間每天通過該收費點的時刻服從正態(tài)分布，其中可用這600輛車在9:20～10:40之間通過該收費點的時刻的平均值近似代替，可用樣本的方差近似代替（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表），已知大年初五全天共有1000輛車通過該收費點，估計在9:46～10:40之間通過的車輛數(shù)（結果保留到整數(shù)）.

參考數(shù)據(jù)：若，則，，.

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【題目】據(jù)說偉大的阿基米德逝世后，敵軍將領馬塞拉斯給他建了一塊墓碑，在墓碑上刻了一個如圖所示的圖案，圖案中球的直徑、圓柱底面的直徑和圓柱的高相等，圓錐的頂點為圓柱上底面的圓心，圓錐的底面是圓柱的下底面．

（1）試計算出圖案中球與圓柱的體積比；

（2）假設球半徑．試計算出圖案中圓錐的體積和表面積.

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【題目】如圖，已知橢圓的左焦點為，過點F做x軸的垂線交橢圓于A，B兩點，且．

(1)求橢圓C的標準方程：

(2)若M，N為橢圓上異于點A的兩點，且直線的傾斜角互補，問直線MN的斜率是否為定值?若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．

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【題目】某輪船公司年初以200萬元購進一艘輪船，以每年40萬元的價格出租給海運公司.輪船公司負責輪船的維護，第一年維護費為4萬元，隨著輪船的使用與磨損，以后每年的維護費比上一年多2萬元，同時該輪船第年末可以以萬元的價格出售.

（1）寫出輪船公司到第年末所得總利潤萬元關于的函數(shù)解析式，并求的最大值；

（2）為使輪船公司年平均利潤最大，輪船公司應在第幾年末出售輪船？

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【題目】在平面立角坐標系中，過點的圓的圓心在軸上，且與過原點傾斜角為的直線相切.

(1)求圓的標準方程；

(2)點在直線上，過點作圓的切線、，切點分別為、，求經(jīng)過、、、四點的圓所過的定點的坐標.

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（1）當的傾斜角為時，求以為直徑的圓的標準方程；

（2）問是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

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