Question

【題目】已知是定義在上的奇函數(shù)，且，若，時，有成立.

（Ⅰ）判斷在上的單調(diào)性，并證明；

（Ⅱ）解不等式；

（Ⅲ）若對所有的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）減函數(shù)（2）（3）或或.

【解析】試題分析：

（Ⅰ）根據(jù)單調(diào)性定義，設(shè)，作差，由奇函數(shù)的定義化為，再利用已知條件得，從而得函數(shù)為減函數(shù)；

（Ⅱ）由減函數(shù)的定義得，但還要注意定義域，因此有；

（Ⅲ）題設(shè)不等式恒成立，即恒成立，在恒成立，作為的一次不等式，只要和時不等式成立即可．

試題解析：

（Ⅰ）在上是減函數(shù)，

任取且，則，

為奇函數(shù)，

，

由題知，，

，即，

在上單調(diào)遞減.

（Ⅱ）在上單調(diào)遞減，

，

解得不等式的解集為.

（Ⅲ），在上單調(diào)遞減，

在上，，

問題轉(zhuǎn)化為，即，對任意的恒成立，

令，即，對任意恒成立，

則由題知，解得或或.