Question

13．某射擊游戲規(guī)則如下：①射手共射擊三次：；②首先射擊目標(biāo)甲；③若擊中，則繼續(xù)射擊該目標(biāo)，若未擊中，則射擊另一目標(biāo)；④擊中目標(biāo)甲、乙分別得2分、1分，未擊中得0分．已知某射手擊中甲、乙目標(biāo)的概率分別為$\frac{1}{2}，\frac{3}{4}$，且該射手每次射擊的結(jié)果互不影響．
（Ⅰ）求該射手連續(xù)兩次擊中目標(biāo)且另一次未擊中目標(biāo)的概率；
（Ⅱ）記該射手所得分?jǐn)?shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分別記“該射手擊中目標(biāo)甲、乙”為事件A，B，“連續(xù)兩次擊中目標(biāo)且另一次未擊中目標(biāo)”為事件C，則P（A）=$\frac{1}{2}$，P（B）=$\frac{3}{4}$，由事件的獨(dú)立性和互斥性，由此能求出該射手連續(xù)兩次擊中目標(biāo)且另一次未擊中目標(biāo)的概率．
（Ⅱ）X的所有可能取值為0，1，2，3，4，6，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（Ⅰ）分別記“該射手擊中目標(biāo)甲、乙”為事件A，B，
“連續(xù)兩次擊中目標(biāo)且另一次未擊中目標(biāo)”為事件C，
則P（A）=$\frac{1}{2}$，P（B）=$\frac{3}{4}$，
由事件的獨(dú)立性和互斥性，得：
P（C）=$P（AA\overline{A}+\overline{A}BB）$=$P（A）P（A）P（\overline{A}）$+P（$\overline{A}$）P（B）P（B）
=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}×\frac{3}{4}×\frac{3}{4}$
=$\frac{13}{32}$．
（Ⅱ）X的所有可能取值為0，1，2，3，4，6，
P（X=0）=P（$\overline{A}\overline{B}\overline{A}$）=P（$\overline{A}$）P（$\overline{B}$）P（$\overline{A}$）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{4}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{16}$，
P（X=1）=$P（\overline{A}B\overline{B}）$=$\frac{1}{2}×\frac{3}{4}×\frac{1}{4}$=$\frac{3}{32}$，
P（X=2）=P（A$\overline{A}\overline{B}$+$\overline{A}\overline{B}A$+$\overline{A}BB$）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}×\frac{1}{4}×\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}×\frac{3}{4}×\frac{3}{4}$=$\frac{13}{32}$，
P（X=3）=P（$A\overline{A}B$）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{3}{4}$=$\frac{3}{16}$，
P（X=4）=$P（AA\overline{A}）$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{8}$，
P（X=6）=P（AAA）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{8}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3	4	6
P	$\frac{1}{16}$	$\frac{3}{32}$	$\frac{13}{32}$	$\frac{3}{16}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$

EX=$0×\frac{1}{16}+1×\frac{3}{32}+2×\frac{13}{32}$+3×$\frac{3}{16}$+4×$\frac{1}{8}$+6×$\frac{1}{8}$=$\frac{87}{32}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對(duì)立事件概率的計(jì)算公式的合理運(yùn)用．