Question

（1）求函數(shù)y=(

1

2

)x2-2x+2（0≤x≤3）的值域．
（2）設(shè)0≤x≤2，y=4x-

1

2

-3•2^x+5，試求該函數(shù)的最值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令t=x²-2x+2，則y=(

1

2

)t．根據(jù)x的范圍，求得t的范圍，可得函數(shù)y=(

1

2

)t 的范圍．
（2）令k=2^x（0≤x≤2），可得1≤k≤4，y=

1

2

（k-3）²+

1

2

，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得它的最值．

解答： 解：（1）令t=x²-2x+2，則y=(

1

2

)t．
又t=x²-2x+2=（x-1）²+1，0≤x≤3，∴當(dāng)x=1時，t_min=1；當(dāng)x=3時，t_max=5．
故1≤t≤5，∴(

1

2

)5≤y≤(

1

2

)1，
故所求函數(shù)的值域為[

1

32

，

1

2

]．
（2）令k=2^x（0≤x≤2），∴1≤k≤4．則 y=2^2x-1-3•2^x+5=

1

2

k²-3k+5．
又y=

1

2

（k-3）²+

1

2

，k∈[1，4]，
∴y=

1

2

（k-3）²+

1

2

，在k∈[1，3]上是減函數(shù)，在k∈[3，4]上是增函數(shù)，
∴當(dāng)k=3時，y_min=

1

2

；當(dāng)k=1時，y_max=

5

2

．
即函數(shù)的最大值為

5

2

，最小值為

1

2

．

點評：本題主要考查指數(shù)函數(shù)的定義域和值域，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．