Question

如圖，已知矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)P，PA⊥平面ABCD，E、F分別是AB、PC的中點(diǎn)．
（1）求證：

EF

，

AP

，

AD

共面；
（2）求證：EF⊥CD．

Answer 1

考點(diǎn)：向量的數(shù)量積判斷向量的共線(xiàn)與垂直

專(zhuān)題：

分析：（1）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，設(shè)AB=2a，BC=2b，PA=2c，求出

EF

=（0，b，c），

AP

=（0，0，2c），

AD

=（0，2b，0），從而

EF

=

1

2

AP

+

1

2

AD

，由此能證明

EF

，

AP

，

AD

共面．
（2）求出

CD

=（-2a，0，0），

EF

=（0，b，c），由

CD

•

EF

=0，能證明CD⊥EF．

解答： 證明：（1）如圖，以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
設(shè)AB=2a，BC=2b，PA=2c，
則：A（0，0，0），B（2a，0，0），C（2a，2b，0），
D（0，2b，0），P（0，0，2c），
∵E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為PC的中點(diǎn)，
∴E（a，0，0），F(xiàn)（a，b，c），
∵

EF

=（0，b，c），

AP

=（0，0，2c），

AD

=（0，2b，0），
∴

EF

=

1

2

AP

+

1

2

AD

，
∴

EF

，

AP

，

AD

共面．
（2）∵

CD

=（-2a，0，0），

EF

=（0，b，c），
∴

CD

•

EF

=（-2a，0，0）•（0，b，c）=0，
∴

CD

⊥

EF

，∴CD⊥EF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三個(gè)向量共面的證明，考查兩直線(xiàn)垂直的證明，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．