Question

9．定義區(qū)間（c，d）、（c，d]、[c，d）、[c，d]的長度均為d-c（d＞c），己知實(shí)數(shù)p＞0，則滿足不等式$\frac{1}{x-p}$+$\frac{1}{x}$≥1的x構(gòu)成的區(qū)間長度之和為2．

Answer 1

分析 原不等式化為$\frac{{x}^{2}-（p+2）x+p}{x（x-p）}$≤0，設(shè)x²-（p+2）x+p=0的根為x₁和x₂，則由求根公式可得這兩個(gè)根的值，結(jié)合數(shù)軸，用穿根法來解的不等式的解集，從而求得解集構(gòu)成的區(qū)間的長度之和．

解答 解：∵$\frac{1}{x-p}$+$\frac{1}{x}$≥1，實(shí)數(shù)p＞0，∴$\frac{2x-p}{x（x-p）}$≥1，即$\frac{{x}^{2}-（p+2）x+p}{x（x-p）}$≤0，
設(shè)x²-（p+2）x+p=0的根為x₁和x₂，則由求根公式可得，
x₁=$\frac{p+2-\sqrt{{p}^{2}+4}}{2}$，x₂=$\frac{p+2+\sqrt{{p}^{2}+4}}{2}$，
把不等式的根排在數(shù)軸上，
由穿根得不等式的解集為（0，x₁）∪（p，x₂ ），故解集構(gòu)成的區(qū)間的長度之和為 （x₁-0）+（x₂-p ）
=（x₁+x₂ ）-p=（p+2）-p=2，
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查其他不等式的解法，解題的關(guān)鍵是掌握用穿根法解分式不等式和高次不等式的技巧，本題中令分子為0，得出x₁和x₂與系數(shù)的關(guān)系對解本題尤其關(guān)鍵．本題考查數(shù)形結(jié)合的思想，是不等式求解中難度較大的題型．