Question

18．已知z=m+1+（3m-2）i（m∈R）．
（1）若|z|≤5，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）求|z|的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)模長公式解不等式|z|≤5，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）根據(jù)復(fù)數(shù)求|z|的表達(dá)式，結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)即可求最小值．

解答 解：（1）若|z|≤5，
即$\sqrt{（m+1）^{2}+（3m-2）^{2}}$≤5，
即（m+1）²+（3m-2）²≤25，
即10m²-10m-20≤0，
即m²-m-2≤0，
得-1≤m≤2，
即實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-1，2]；
（2）|z|²=（m+1）²+（3m-2）²=10m²-10m+5=10（m-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{2}$，
∴當(dāng)m=$\frac{1}{2}$時(shí)，|z|²取得最小值$\frac{5}{2}$，
即|z|=$\sqrt{（m+1）^{2}+（3m-2）^{2}}$的最小值$\sqrt{\frac{5}{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查復(fù)數(shù)模長公式的應(yīng)用，結(jié)合一元二次函數(shù)和一元二次不等式是解決本題的關(guān)鍵．