4.設(shè)向量$\overrightarrow{a}$=(cos$\frac{x}{2}$,sin$\frac{x}{2}$),$\overrightarrow$=(sin$\frac{3x}{2}$,cos$\frac{3x}{2}$),x∈[0,$\frac{π}{2}$].
(1)求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$與|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|;
(2)若函數(shù)f(x)=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+$\sqrt{2}$|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|,求f(x)的最大值和最小值.

分析 (1)代入數(shù)量積公式和模長(zhǎng)公式化簡(jiǎn);
(2)使用換元法將f(x)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值.

解答 解:(1)$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=cos$\frac{x}{2}$sin$\frac{3x}{2}$+sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{3x}{2}$=sin2x.($\overrightarrow{a}+\overrightarrow$)2=${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$=2+2sin2x.∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{2+2sin2x}$.
(2)f(x)=sin2x+2$\sqrt{1+sin2x}$.令$\sqrt{1+sin2x}$=t,則sin2x=t2-1,(1≤t≤$\sqrt{2}$).
令g(t)=t2+2t-1=(t+1)2-2.∴g(t)在[1,$\sqrt{2}$]上單調(diào)遞增,
∴gmin(t)=g(1)=2,gmax(t)=g($\sqrt{2}$)=1+2$\sqrt{2}$.
∴f(x)的最大值是1+2$\sqrt{2}$,f(x)的最小值是2.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)恒等變換,函數(shù)的最值,換元思想,注意換元后的定義域是解題關(guān)鍵,屬于中檔題.

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