Question

9．如圖所示，已知AB為圓O的直徑，C，D是圓O上的兩個點，CE⊥AB于E，BD交AC于G，交CE于F，CF=FG．
（Ⅰ）求證：AC是∠DAB的平分線；
（Ⅱ）求證：OF∥AG．

Answer 1

分析 （I）要證明C是劣弧BD的中點，即證明弧BC與弧CD相等，即證明∠CAB=∠DAC，根據(jù)已知中CF=FG，AB是圓O的直徑，CE⊥AB于E，我們易根據(jù)同角的余角相等，得到結(jié)論．
（II）由已知及（I）的結(jié)論，我們易證明△BFC及△GFC均為等腰三角形，即CF=BF，CF=GF，進(jìn)而得到結(jié)論．

解答 解：（I）∵CF=FG
∴∠CGF=∠FCG
∴AB圓O的直徑
∴∠ACB=∠ADB=90°
∵CE⊥AB
∴∠CEA=90°
∵∠CBA=90°-∠CAB，∠ACE=90°-∠CAB
∴∠CBA=∠ACE
∵∠CGF=∠DGA，
∴∠DGA=∠ABC
∴∴∠CAB=∠DAC
∴C為劣弧BD的中點，
∴AC是∠DAB的平分線；
（II）∵∠GBC=90°-∠CGB，∠FCB=90°-∠GCF
∴∠GBC=∠FCB
∴CF=FB
同理可證：CF=GF
∴BF=FG，
∵OA=OB，
∴OF∥AG．

點評 本題考查的知識點圓周角定理及其推理，同（等）角的余角相等，其中根據(jù)AB是圓O的直徑，CE⊥AB于E，找出要證明相等的角所在的直角三角形，是解答本題的關(guān)鍵．