Question

11．已知定義：在數(shù)列{a_n}中，若a_n²-a_n-1²=p（n≥2，n∈N^*，p為常數(shù)），則稱數(shù)列{a_n}為等方差數(shù)列，下列判斷：
①{（-1）ⁿ}是“等方差數(shù)列”；
②若{a_n}是“等方差數(shù)列”，則數(shù)列{${a}_{n}^{2}$}是等差數(shù)列；
③若{a_n}既是“等方差數(shù)列”，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列是常數(shù)列；
④若{a_n}是“等方差數(shù)列”，則數(shù)列{a_kn}（k∈N^*，k為常數(shù)）可能也是“等方差數(shù)列”．
其中正確的結(jié)論是①②③④．（寫出所有正確結(jié)論的編號）

Answer 1

分析 利用“等方差數(shù)列”與“等差數(shù)列”的定義及其性質(zhì)即可逐一判斷出結(jié)論．

解答 解對于①，∵a_n=（-1）ⁿ，∴a_n²-a_n-1²=0，∴數(shù)列{a_n}為等方差數(shù)列，正確；
對于②，{a_n}是“等方差數(shù)列”，∴a_n²-a_n-1²=p（n≥2，n∈N^*，p為常數(shù)），則數(shù)列{a_n²}是等差數(shù)列，正確；
對于③，若{a_n}既是“等方差數(shù)列”，又是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，
∴n≥2時，a_n²-a_n-1²=[a₁+（n-1）d]²-[a₁+（n-2）d]²=d[2a₁+（2n-3）d]為常數(shù)，必然d=0，
則該數(shù)列是常數(shù)列，正確；
對于④，取a_n=2，{a_n}是“等方差數(shù)列”，則數(shù)列{a_kn}（k∈N^*，k為常數(shù)）可能還是“等方差數(shù)列”，正確；
故答案為：①②③④

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)、新定義、“等方差數(shù)列”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．