【題目】已知函數(shù)．

討論函數(shù)的極值點(diǎn)的個數(shù)；

若函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，，證明：．

【答案】(1)見解析 (2)見解析

【解析】

先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，通過討論a的范圍確定導(dǎo)函數(shù)的符號，從而得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而判斷函數(shù)極值點(diǎn)個數(shù)；

由可知當(dāng)且僅當(dāng)時有極小值和極大值，且，是方程的兩個正根，則，根據(jù)函數(shù)表示出，令，通過對求導(dǎo)即可證明結(jié)論．

解：函數(shù)，

，

，當(dāng)時，，，

當(dāng)時，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時，有極小值；

當(dāng)時，，故，

在上單調(diào)遞減，故此時無極值；

當(dāng)時，，方程有兩個不等的正根，．

可得，．

則當(dāng)及時，

，單調(diào)遞減；

當(dāng)時， ；單調(diào)遞增；

在處有極小值，在處有極大值．

綜上所述：當(dāng)時，有1個極值點(diǎn)；

當(dāng)時，沒有極值點(diǎn)；

當(dāng)時，有2個極值點(diǎn)．

由可知當(dāng)且僅當(dāng)時有極小值點(diǎn)

和極大值點(diǎn)，且，是方程的兩個正根，

則，．

；

令，

；，

在上單調(diào)遞減，故，

．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】近年來，國資委.黨委高度重視扶貧開發(fā)工作，堅決貫徹落實(shí)中央扶貧工作重大決策部署，在各個貧困縣全力推進(jìn)定點(diǎn)扶貧各項工作，取得了積極成效，某貧困縣為了響應(yīng)國家精準(zhǔn)扶貧的號召，特地承包了一塊土地，已知土地的使用面積以及相應(yīng)的管理時間的關(guān)系如下表所示：

土地使用面積（單位：畝）

1

2

3

4

5

管理時間（單位：月）

8

10

13

25

24

并調(diào)查了某村300名村民參與管理的意愿，得到的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示:

愿意參與管理

不愿意參與管理

男性村民

150

50

女性村民

50

（1）求出相關(guān)系數(shù)的大小，并判斷管理時間與土地使用面積是否線性相關(guān)？

（2）是否有99.9%的把握認(rèn)為村民的性別與參與管理的意愿具有相關(guān)性？

（3）若以該村的村民的性別與參與管理意愿的情況估計貧困縣的情況，則從該貧困縣中任取3人，記取到不愿意參與管理的男性村民的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望。

參考公式：

其中。臨界值表：

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

參考數(shù)據(jù)：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，把函數(shù)的圖象向右平移個單位，再把圖象上所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來的一半（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A.的最小正周期為B.的圖象關(guān)于直線對稱

C.的一個零點(diǎn)為D.在上單調(diào)遞減

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某中學(xué)為研究學(xué)生的身體素質(zhì)與體育鍛煉時間的關(guān)系，對該校200名高三學(xué)生平均每天體育鍛煉時間進(jìn)行調(diào)查，如表：（平均每天鍛煉的時間單位：分鐘）

平均每天鍛煉的時間/分鐘

總?cè)藬?shù)

20

36

44

50

40

10

將學(xué)生日均體育鍛煉時間在的學(xué)生評價為“鍛煉達(dá)標(biāo)”．

（1）請根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面的列聯(lián)表；

鍛煉不達(dá)標(biāo)

鍛煉達(dá)標(biāo)

合計

男

女

20

110

合計

并通過計算判斷，是否能在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為“鍛煉達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān)？

（2）在“鍛煉達(dá)標(biāo)”的學(xué)生中，按男女用分層抽樣方法抽出5人，進(jìn)行體育鍛煉體會交流，再從這5人中選出2人作重點(diǎn)發(fā)言，求作重點(diǎn)發(fā)言的2人中，至少1人是女生的概率．

參考公式：，其中．

臨界值表

0.10

0.05

0.025

0.010

2.706

3.841

5.024

6.635

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】心理學(xué)研究表明，人極易受情緒的影響，某選手參加7局4勝制的兵乒球比賽.

（1）在不受情緒的影響下，該選手每局獲勝的概率為；但實(shí)際上，如果前一句獲勝的話，此選手該局獲勝的概率可提升到；而如果前一局失利的話，此選手該局獲勝的概率則降為，求該選手在前3局獲勝局?jǐn)?shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（2）假設(shè)選手的三局比賽結(jié)果互不影響，且三局比賽獲勝的概率為，記為銳角的內(nèi)角，求證：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為實(shí)現(xiàn)有效利用扶貧資金，增加貧困村民的收入，扶貧工作組結(jié)合某貧困村水質(zhì)優(yōu)良的特點(diǎn)，決定利用扶貧資金從外地購買甲、乙、丙三種魚苗在魚塘中進(jìn)行養(yǎng)殖試驗，試驗后選擇其中一種進(jìn)行大面積養(yǎng)殖，已知魚苗甲的自然成活率為0.8.魚苗乙，丙的自然成活率均為0.9，且甲、乙、丙三種魚苗是否成活相互獨(dú)立.

（1）試驗時從甲、乙，丙三種魚苗中各取一尾，記自然成活的尾數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）試驗后發(fā)現(xiàn)乙種魚苗較好，扶貧工作組決定購買尾乙種魚苗進(jìn)行大面積養(yǎng)殖，為提高魚苗的成活率，工作組采取增氧措施，該措施實(shí)施對能夠自然成活的魚苗不產(chǎn)生影響.使不能自然成活的魚苗的成活率提高了50%.若每尾乙種魚苗最終成活后可獲利10元，不成活則虧損2元，且扶貧工作組的扶貧目標(biāo)是獲利不低于37.6萬元，問需至少購買多少尾乙種魚苗？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在研究幾何時曾定義歐拉三角形，的三個歐拉點(diǎn)（頂點(diǎn)與垂心連線的中點(diǎn)）構(gòu)成的三角形稱為的歐拉三角形.如圖，是的歐拉三角形（H為的垂心）.已知，，，若在內(nèi)部隨機(jī)選取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，左右兩頂點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，滿足直線的斜率之積為，且的最大值為4.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線與過點(diǎn)且與軸垂直的直線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足分別為兩點(diǎn)，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知四棱錐，是等邊三角形，，，，，是的中點(diǎn)．

（1）求證：直線平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值．

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