Question

拋物線E：y²=4x的焦點為F，準線l與x軸的交點為A．點C在拋物線E上，以為圓心，|CO|為半徑作圓．
（Ⅰ）設(shè)圓C與準線l交于不同的兩點M、N：
（1）如圖，若點C的縱坐標為2，求|MN|；
（2）若|AF|²=|AM|•|AN|，求圓C的坐標；
（Ⅱ）設(shè)圓C與準線l相切時，切點為Q，求四邊形OFCQ的面積．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（I）（1）由拋物線的方程表示出焦點F的坐標及準線方程，求出C到準線的距離，再利用圓中弦長公式即可求出|MN|的長；
（2）設(shè)C（

y02

4

，y₀），表示出圓C的方程方程，與拋物線解析式聯(lián)立組成方程組，設(shè)M（-1，y₁），N（-1，y₂），利用韋達定理表示出y₁y₂，利用|AF|²=|AM|•|AN|，得|y₁y₂|=4，解得C的縱坐標，從而得到圓心C坐標；
（II）|CO|=|CF|=|CQ|且圓C過點F，即可求四邊形OFCQ的面積．

解答： 解：（I）（1）拋物線E：y²=4x的準線l：x=-1，
由點C的縱坐標為2，得C（1，2），故C到準線的距離d=2，又|OC|=

5

，
∴|MN|=2

5-4

=2．
（2）設(shè)C（

y02

4

，y₀），則圓C的方程為（x-

y02

4

）²+（y-y₀）²=

y04

16

+y02，
即x²-

y02

2

x+y²-2y₀y=0，由x=-1得y²-2y₀y+1+

y02

2

=0，
設(shè)M（-1，y₁），N（-1，y₂），則y₁y₂=1+

y02

2

，△=2y02-4＞0，
由|AF|²=|AM|•|AN|，得|y₁y₂|=4，
∴1+

y02

2

=4，解得y₀=±

6

，此時△＞0
∴圓心C的坐標為（

3

2

，±

6

）；
（Ⅱ）此時，|CO|=|CF|=|CQ|且圓C過點F…（13分）
∴SOFCQ=

1

2

•1•

2

+

1

2

(1+

1

2

)•

2

=

5 2

4

…（14分）

點評：此題考查了圓的標準方程，涉及的知識有：拋物線的簡單性質(zhì)，韋達定理．其中根據(jù)題意確定出圓心與半徑是解本題的關(guān)鍵．