Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2ωx+$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$（ω＞0）的最小正周期為π．
（1）求ω的值；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的$\frac{1}{2}$，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象．①求函數(shù)y=g（x）的單凋區(qū)間；②求函數(shù)y=g（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{16}$]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意和周期公式可得ω=1，可得f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$；
（2）由函數(shù)圖象變換可得g（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（4x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$，①解2kπ-$\frac{π}{2}$≤4x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得單凋遞增區(qū)間，同理可得單凋遞間區(qū)間；②由x∈[0，$\frac{π}{16}$]可得4x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，可得最小值．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2ωx+$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$（ω＞0）的最小正周期為π，
∴由周期公式可得$\frac{2π}{2ω}$=π，解得ω=1，故f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的$\frac{1}{2}$，縱坐標(biāo)不變，
得到函數(shù)y=g（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（4x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$的圖象，
①由2kπ-$\frac{π}{2}$≤4x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得$\frac{1}{2}$kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{8}$，
∴函數(shù)y=g（x）的單凋遞增區(qū)間為[$\frac{1}{2}$kπ-$\frac{3π}{8}$，$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{8}$]（k∈Z），
同理可得函數(shù)y=g（x）的單凋遞間區(qū)間為[$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{8}$，$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{5π}{8}$]（k∈Z），
②∵x∈[0，$\frac{π}{16}$]，∴4x∈[0，$\frac{π}{4}$]，∴4x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，
∴當(dāng)4x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{4}$，即x=0時，函數(shù)取最小值1

點評 本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及正弦函數(shù)的圖象變換以及函數(shù)的單調(diào)性和最值，屬中檔題．