Question

16．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱垂直于底面，AB⊥BC，AA₁=AC=2，BC=1，E，F(xiàn)分別是A₁C₁，BC的中點．
（1）求證：AB⊥C₁F；
（2）求證：C₁F∥平面ABE；
（3）求三棱錐E-ABC的體積．

Answer 1

分析 （1）由BB₁⊥平面ABC得AB⊥BB₁，又AB⊥BC，故AB⊥平面B₁BCC₁，所以AB⊥C₁F；
（2）取AB的中點G，連接EG，F(xiàn)G．則易得四邊形EGFC₁是平行四邊形，故而C₁F∥EG，于是C₁F∥平面ABE；
（3）由勾股定理求出AB，代入棱錐的體積公式計算即可．

解答 （1）證明：∵BB₁⊥底面ABC，AB?平面ABC
∴BB₁⊥AB．
又∵AB⊥BC，BC?平面B₁BCC₁，BB₁?平面B₁BCC₁，BC∩BB₁=B，
∴AB⊥平面B₁BCC₁，
又∵C₁F?平面B₁BCC₁，
∴AB⊥C₁F．
（2）證明：取AB的中點G，連接EG，F(xiàn)G．
∵F，G分別是BC，AB的中點，
∴FG∥AC，且FG=$\frac{1}{2}$AC，
∵AC$\stackrel{∥}{=}$A₁C₁，E是A₁C₁的中點，∴EC₁=$\frac{1}{2}$A₁C₁．
∴FG∥EC₁，且FG=EC₁，
∴四邊形FGEC₁為平行四邊形，∴C₁F∥EG．
又∵EG?平面ABE，C₁F?平面ABE，EG?平面ABE，
∴C₁F∥平面ABE．
（3）解：∵AA₁=AC=2，BC=1，AB⊥BC，∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
∴三棱錐E-ABC的體積V=$\frac{1}{3}$S_△ABC•AA₁=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×1×2=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了線面垂直，線面平行的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．